|
name =پواسون|
type =تجمعی|
pdf_image =[[پرونده:Poisson_distribution_PMF.png|325px|Plot of the Poisson PMF]]{{سخ}}<small>محور افقی ورودی‌های تابع هستند. توجه کنید که نمودار فقط در نقاط پررنگ معنا دارد و وصل کردن نقاط به معنای پیوستگی نیست.</small>|
cdf_image =[[پرونده:Poisson_distribution_CMF.png|325px|Plot of the Poisson CMF]]{{سخ}}<small>محور افقی ورودی‌های تابع هستند. توجه کنید که نمودار فقط در نقاط پررنگ معنا دارد و وصل کردن نقاط به معنای پیوستگی نیست.</small>|
parameters =<math>\lambda \in (0,\infty)</math>|
char =<math>\exp(\lambda (e^{it}-1))\,</math>
}}
در [[آمار]] و احتمال '''توزیع پواسون''' (یا قانون پواسون اعداد کوچک) یک [[توزیع احتمالی گسسته]] است که احتمال اینکه یک حادثه به تعداد مشخصی در فاصلهٔ زمانی یا مکانی ثابتی رخ دهد را شرح می دهد؛می‌دهد؛ به شرط اینکه این حوادث با نرخ میانگین مشخصی و مستقل از زمان آخرین حادثه رخ دهند. (توزیع پواسون همچنین برای تعدادی از حوادث در فاصله هایفاصله‌های مشخص دیگری مثل مسافت، مساحت یا حجم استفاده شود)
این توزیع برای اولین بار توسط Siméon Denis Poisson 1781-1840 معرفی و به ضمیمه [[تئوری احتمال]] او در سال 1838۱۸۳۸ در یکی از کتابهایش بنامRecherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile(جستاری در احتمال قضاوت هاقضاوت‌ها در مسائل کیفری و حقوقی) چاپ شد. اولین استفاده یاستفادهٔ عملی از این توزیع به سال 1898۱۸۹۸ برمی گردد جایی که Ladislaus Bortkiewicz به بررسی تعداد تصادفی از سربازان ارتش پروس که توسط پا زدن اسب کشته شدند می پردازدمی‌پردازد. این اثربیشتر بر [[متغیرهای تصادفی]] خاصی تاکیدتأکید میکندمی‌کند مانند [[متغیر تصادفی]] N که تعداد ظهورها (یا ورودهای) گسسته را که در فاصله زمانی مشخصی اتفاق می افتندمی‌افتند را میشماردمی‌شمارد.
توزیع پواسن در هر زمینه ایزمینه‌ای استفاده می شودمی‌شود برای مثال : فرض کنید شخصی به طور متوسط چهار ایمیل در روز دریافت می کندمی‌کند تعداد ایمیل هایایمیل‌های دریافت شده در برخی از روزها می تواندمی‌تواند کمی کمتر یا بیشتر از چهار باشد ولی در بازه زمانی طولانی اگر بر دریافت ایمیل نظارت کنیم، می بینیممی‌بینیم نرخ دریافت ثابت است. حال فرض کنید فرآیندفرایند یا ترکیبی از چند فرآیندفرایند یک جریان رویداد به صورت تصادفی تولید کنند، توزیع پواسن احتمال اینکه تعداد این رخدادها 2،3،4۲٬۳٬۴ و اعداد دیگر باشد را مشخص می کندمی‌کند. توزیع پواسن درجه پراکندگی اطراف نرخ متوسط وقوع رخداد را پیش بینی می کندمی‌کند.
* در سیستم هایسیستم‌های الکتریکی : تعداد دفعاتی که زنگ یک تلفن به صدا در می آید می‌آید
* در نجوم : فوتون هاییفوتون‌هایی که تلسکوپ می رسندمی‌رسند
* در صنعت : تعداد محصولات معیوب یک کارخانه
* در فیزیک : تعداد ذراتذرات؛ ;alpha انتشار یافته در یک ثانیه
* در [[زیست شناسیزیست‌شناسی]] : تعداد جهش هاجهش‌ها روی یک رشته یرشتهٔ معین از DNA دارای توزیع پواسن است.
اگر [[امید ریاضی]] ظهورها در این بازه ''λ'' باشد، احتمال اینکه دقیقاً ''k'' ظهور داشته باشیم (''k'' [[عدد صحیح]] نامنفی است، k=0۰, 1۱, 2۲, … ) برابر است با:
:<math>f(k; \lambda)=\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!},\,\!</math>
بطوریکه
* ''e'' پایه [[لگاریتم طبیعی]] است (e=2.71828۲٫۷۱۸۲۸)
* ''k'' تعداد ظهورهای یک حادثه است که احتمالش با تابع [[فوق داده]] شده است.
* ''λ'' یک عدد مثبت حقیقی و برابر با امید ریاضی ظهورها در طول بازه داده شده است. برای مثال اگر بطور میانگین در هر دقیقه 4۴ حادثه اتفاق بیفتدو احتمال اتفاق افتادن یک حادثه در فاصله زمانی 10 دقیقه۱۰ ایدقیقه‌ای را بخواهیم، باید از توزیع پواسون با λ = 10×4 = 40 استفاده کنیم.
تابع فوق به عنوان تابعی از ''k'' یک تابع جرم احتمال ست . توزیع پواسون می تواندمی‌تواند بعنوان تقریبی از توزیع [[دوجمله ایدوجمله‌ای]] در نظر گرفته شود.
توزیع پواسون می تواندمی‌تواند برای سیستم هاییسیستم‌هایی بکار برده شود که دارای تعداد وقایع بسیار زیاد هستند و احتمال وقوع هر واقعه بسیار کم است؛ بعنوان یک مثال کلاسیک برای این حالت میتوانمی‌توان [[فروپاشی هسته ایهسته‌ای]] اتم هااتم‌ها را در نظر گرفت. (احتمال فروپاشی یک اتم بسیار کم است ولی میلیون هامیلیون‌ها اتم در کنار یکدیگر وجود دارند که درواقع تعداد وقایع بسیاری داریم)
== نویز پواسون ==
پارامتر '' λ''نه تنها بمعنی متوسط تعداد وقایع <math>E[k]</math> بلکه نشاندهنده واریانس آن نیز می باشدمی‌باشد<math>\sigma_k^2=E[k^2]-E[k]^2</math> (جدول را ببینید). بنابراین تعداد ظهورهای مشاهده شده حول مقدار متوسطش ''λ'' با [[انحراف معیار]] <math>\sigma_k =\sqrt{\lambda}</math>. این نوسانات با عنوان نویز پواسون یا (معمولاً در الکترونیک) بعنوان shot noise شناخته میشوندمی‌شوند.
ارتباط میانگین و انحراف معیار در شمردن ظهورهای گسسته بطور علمی مفید است. با دقت کردن به اینکه چگونه نوسانات با [[مقدار متوسط]] سیگنال تغییر میکنندمی‌کنند میتوانمی‌توان سهم هر سیگنال را تخمین زد، حتی اگر این سهم بقدری ضعیف باشد که نتوانیم بطور مستقیم آن را آشکار کنیم.
== توزیع هایتوزیع‌های مرتبط ==
* اگر <math>X_1</math> توزیع پواسون با پارامتر <math>\lambda_1</math> و <math>X_2</math> توزیع پواسون با پارامتر <math>\lambda_2</math> داشته باشد آنگاه تفاضل آنها دارای توزیع skellam خواهد بود.
* اگر <math>X_1</math> با توزیع پواسون با پارمتر <math>\lambda_1</math> و <math>X_2</math> با توزیع پواسون با پارمتر<math>\lambda_2</math> مستقل باشند و <math>Y=X_1+X_2</MATH> آنگاه متغیر تصادفی <math>X_1</math> به شرط <math>Y=y</math> دارای [[توزیع دوجمله ایدوجمله‌ای]] خواهد بود. بطور خاص <MATH>X_1|(Y=y) \sim \mathrm{Binom}(y, \lambda_1/(\lambda_1+\lambda_2))\, </MATH> در حالت کلی اگر ''X''<sub>1</sub>, ''X''<sub>2</sub>,... , ''X''<sub>''n''</sub> متغیرهای مستقل پواسون با پارامترهای λ<sub>1</sub>, λ<sub>2</sub>,... , λ<sub>''n''</sub> باشند آنگاه :: <math>X_i \left|\sum_{j=1}^n X_j\right. \sim \mathrm{Binom}\left(\sum_{j=1}^nX_j,\frac{\lambda_i}{\sum_{j=1}^n\lambda_j}\right)</math><ref>
en:Poisson distribution</ref>
</ref>
== منابع ==
{{پانویس}}
| 