تفاوت میان نسخه‌های «ویژگی عمومی»

۵۱ بایت اضافه‌شده ،  ۳ سال پیش
اصلاح نویسه‌های عربی، اصلاح فاصلهٔ مجازی، اصلاح ارقام، اصلاح سجاوندی، اصلاح املا
(اصلاح نویسه‌های عربی، اصلاح فاصلهٔ مجازی، اصلاح ارقام، اصلاح سجاوندی، اصلاح املا)
== تعریف ویژگی عمومی در ریاضی ==
در ریاضیات برای یک ساختار یک ویژگی را گویند عمومی است یا گزاره‌ای برای این ساختار به طور عمومی برقرار است هر گاه برای
'''تقریباتقریباً همهٔ''' این ساختارها برقرار باشد. البته باید اصطلاح تقریباتقریباً همه‌جا به طور دقیق در محیط ریاضیِ مورد بحث، تعریف شده باشد.
برای نمونه گوئیم ویژگی الف به طور عمومی برای [[ماتریس|ماتریس‌های]] دو در دوی حقیقی برقرار است اگر این ویژگی برای تقریباتقریباً همهٔ ماتریس‌های دو در دوی حقیقی برقرار باشد.
 
اما تقریباتقریباً همه‌جا به چه معنا است؟ در زیر تقریباتقریباً همه را در چند محیط ریاضی معرفی می‌کنیم.
 
== در آنالیز ==
در [[آنالیز ریاضی|آنالیز]] یکی از روش‌های مقایسهٔ دو مجموعه، استفاده از [[نظریهٔ اندازه]] است. برای نمونه [[اندازهٔ لبگ]] یک [[پاره خط]] با [[طول]] معمولی آن، اندازهٔ لبگ یک شکل دوبعدی با [[مساحت]] آن و اندازهٔ لبگ یک جسم سه بعدی با [[حجم]] آن هم‌ارز است. یک ویژگی در آنالیز تقربا همه‌جا برقرار است اگر اندازهٔ مجموعه‌ای که این ویژگی برای آن برقرار است برابر با اندازهٔ کل دامنه باشد.<ref> Aliprantis, Burkinshaw, Principles of Real Analysis, page 120</ref>
برای نمونه می‌توان گفت ویژگی ناصفر بودن برای اعداد حقیقی (با در نظر گرفتن اندازهٔ لبگ) تقریباتقریباً همه‌جا برقرار است.
<ref> Aliprantis, Burkinshaw, Principles of Real Analysis, page 120 </ref>
برای نمونه می‌توان گفت ویژگی ناصفر بودن برای اعداد حقیقی (با در نظر گرفتن اندازهٔ لبگ) تقریبا همه‌جا برقرار است.
 
== در احتمال ==
در [[احتمال]] از اندازه‌هایی استفاده می‌کنیم که کل فضا را به مقدار یک ببرند. در اینجا مفهوم تقریباتقریباً همه‌جا همان مفهوم احتمال است. برای نمونه «احتمال دیدن هم شیر و هم خط در آزمایش پرتاب بینهایتبی‌نهایت بار یک سکه یک از یک است»، اما این به معنای عدم وجود حالتی که همهٔ پرتاب‌ها شیر یا همهٔ پرتاب‌ها خط شوند نیست بلکه به این معناست که در مقایسه با کل حالت‌ها این دو حالت به چشم نخواهند آمد.
 
== در جبر ==
یک [[میدان (ریاضی)|میدان]] یا [[حلقه (ریاضی)|حلقه]] به عنوان میدان یا حلقهٔ پس‌زمینه بردارید. وابسته به اینکه در چه محیطی هستیم برای یک عنصر دلخواه یک نمایش در نظر بگیرید. برای نمونه در یک [[فضای برداری]] می‌توانید نمایش برداری یک عنصر را در نظر بگیرید یا اگر در [[حلقهٔ چندجمله‌ای‌ها]] هستید نمایش چندجمله‌ای و در نتیجه ضرایب جملات را در نظر بگیرید همین‌گونه برای [مدول|مدول‌ها] و غیره. فرض کنید ویژگی الف برای یک عنصر به شرط اینکه ضرایب نمایشش ریشه‌های یک یا چند چندجمله‌ای نباشد، برقرار باشد آنگاه گوئیم این ویژگی به طور عمومی برای این فضا برقرار است. به گونهٔ خاص برای حلقهٔ چندجمله‌ای‌ها تعریف ویژهٔ زیر که حالت خاصی از تعریف کلی پیشین است را داریم:
 
گوئیم یک ویژگی برای چندجمله‌ای‌های
<math> d_1,\cdots,d_n </math>
برقرار است اگر چندجمله‌ای ناصفری بر حسب ضرایب
ها<math> f_i </math>‌ها باشد که این ویژگی برای تمامی چندجمله‌ای‌های
<math> f_i </math>
ها باشد که این ویژگی برای تمامی چندجمله‌ای‌های
<math> f_1,\cdots,f_n </math>
که به ازای آنها این چندجمله‌ای صفر نمی‌شود برقرار باشد.<ref> David Cox et al, Using Algebraic Geometry, page 115</ref>
<ref> David Cox et al, Using Algebraic Geometry, page 115 </ref>
 
'''نمونه:'''
این ویژگی که «چندجمله‌ای‌های درجهٔ دو دارای دو ریشهٔ مختلط متفاوت هستند([[اعداد حقیقی]] زیرمجموعهٔ [[اعداد مختلط]] نیز هستند)» به طور عمومی برقرار است. یک چندجمله‌ای درجهٔ دوی دلخواه را به شکل
<math> ax^2+bx+c </math>
می‌توان نمایش داد. می‌دانیم که این چندجمله‌ای دو ریشهٔ تکراری دارد اگر و تنها اگر
احتمال اینکه در
<math> b^2-4ac=0 </math>
صدق نکند برابر است با حجم ناحیهٔ نقاطی که در این رابطه صدق نمی‌کنند تقسیم بر حجم کل فضا. اما مجموعهٔ نقاطی که مختصاتشان در این رابطه صدق می‌کند یک رویهٔ دوبعدی است و در نتیجه حجمش صفر است! بنابراین احتمال برقراری رابطه‌مان ۱۰۰٪ است. البته در صورت تمایل محاسبهٔ کسر بالا باید از مفهوم [حد (ریاضی)|حد] استفاده کرد، یک روش این است که خود را به [[مکعب]] با ضلع‌های
<math> [-n,n] </math>
محدود کرد و تقسیم بالا را نوشت و سپس
را به [بینهایت (ریاضی)|بینهایت] میل داد. در هر صورت به دلیل صفر بودن حجم رویهٔ یادشده حاصل این تقسیم‌ها یک است و حد عدد ثابت برابر با خودش می‌شود.
 
به یک عنصر از فضای‌مان که عضو یک مجموعهٔ تقریباتقریباً همه‌جا است در صورت مشخص بودن منظور از این مجموعهٔ تقریباتقریباً همه‌جا، یک عضو عمومی فضا می‌گوئیم. برای نمونه یک چندجمله‌ای درجهٔ دو که ضرایبش در
<math> b^2-4ac </math>
صدق نکند یک چندجمله‌ای درجهٔ دوی عمومی است.
۴۶٬۳۲۹

ویرایش