|
همچنین می‌توان مشبکه‌ها را به عنوان ساختارهای جبری که مشخص کنندهٔ تعدادی هویت برهان‌اند، شناخت. چون هر دو تعریف معادلند، نظریه مشبکه به [[نظریه ترتیب]] و جبر جهانی متصل می‌شود.
[[شبه شبکهمشبکه|شبه شبکه‌هامشبکه‌ها]] شامل شبکه‌هاییمشبکه‌هایی می‌شوند که به نوبه خود شامل [[جبر بولی]] و [[جبر هیتینگ]] می‌شود. همه این ساختارهای شبکهمشبکه مانند به اندازه توصیف‌های جبری نظریه ترتیب را تصدیق می‌کنند.
== شبکه‌هامشبکه‌ها به عنوان مجموعه‌های مرتب جزئی ==
اگر (L , ≤) یک [[مجموعه مرتب جزئی]] باشد و S یک [[زیر مجموعه]] یا مساوی دلخواه L باشد، آنگاه u∈L یک کران بالا برای S است اگر به ازای هر∈S s داشته باشیم: s≤u. یک مجموعه ممکن است چند کران بالا داشته باشد یا اصلاً کران بالا نداشته باشد. یک کران بالاu از S را هنگامی کوچکترین کران بالا یا سوپریمم می‌نامیم که به ازای هر کران بالا x داشته باشیم: u≤x
یک مجموعه حتماً کوچکترین کران بالا ندارد ولی نمی‌تواند بیش از یکی داشته باشد.
از طرفی، l∈L یک کران پایین برای S است اگر به ازای هر ∈S s داشته باشیم: l≤s. یک کران پایین l از S را هنگامی بزرگترین کران پایین یا اینفیمم می‌نامیم که به ازای هر کران پایین x داشته باشیم x≤l.
یک مجموعه ممکن است چند کران پایین داشته باشد، یا اصلاً کران پایین نداشته باشد ولی می‌تواند حداکثر یک بزرگترین کران بالا داشته باشد.
یک مجموعه مرتب جزئی (L ,≤) را یک شبه شبکهمشبکه از بالا کراندار یا ازپایین کراندار می‌نامند اگرهر زیر مجموعه دو عضوی {a,b} از L یک بزرگترین کران پایین و یک کوچکترین کران بالا داشته باشد، که با a∧b و a∨b نشان داده می‌شود.
و(L ,≤) یک شبکهمشبکه نامیده می‌شود اگر هم یک شبه شبکهمشبکه از بالاکراندار و هم یک شبه شبکهمشبکه از پایین کراندار باشد. این تعاریف عملگرهای ∨و∧ را می‌سازند. هر دو عملگر نسبت به ترتیب یکنواختند :≤a_2 a_1 و ≤b_2 b_1 نتیجه می‌دهد∨b_2 ≤a_2 a_1∨b_1 و ∧b_2 ≤a_2 a_1∧b_1.
با استدلال استقرا ثابت می‌شود که هر زیر مجموعه غیر تهی محدود شبکهمشبکه دارای یک سوپریمم و اینفیمم است. با فرض‌ها اضافی، نتیجه‌های بیشتری ممکن است به دست آید.
یک شبکهمشبکه کراندار شبکه‌ایمشبکه‌ای است که یک بزرگترین عضو ۱ و کوچکترین عضو ۰ داشته باشد به صورت:
۰≤x≤1 for every x in l
بزرگترین عضو و کوچکترین عضو هم ماکسیموم و مینیموم یا عنصر اول و عنصر آخر نامیده می‌شوند؛ و با ⊤ و ⊥ نشان می‌دهند.
هر شبکهمشبکه می‌تواند با اضافه کردن بزرگترین و کوچکترین عضو مجازی به یک شبکهمشبکه کراندار تبدیل شود، و هر شبکهمشبکه غیر تهی محدود کراندار است. با گرفتن سوپریمم تمام اعضا.
یک مجموعه مرتب جزئی یک شبکهمشبکه [[کراندار]] است اگر و تنها اگرمجموعه محدود از اعضا (همچنین تهی) یک سوپریمم و یک اینفیمم داشته باشد. برای هر عضو x از<ref>پوزت</ref> بدیهی است که :∀a∈∅∶x≤a و ∀a∈∅∶a≤x. پس در نتیجه هر عضو پوزت هم کران بالا و هم کران پایین مجموعه تهی است؛ که نشان می‌دهد که سوپریمم مجموعه تهی، کوچکترین عضو آن و اینفیمم آن بزرگترین عضو است: ∨∅=۰ و ∧∅=۱
وبا وابستگی و جا به جایی سوپریمم و اینفیمم ثابت است: سوپریمم اجتماع مجموعه‌های بی‌نهایت برابر است با سوپریمم سوپریمم مجموعه‌ها و همچنین اینفیمم اجتماع مجموعه‌های بی‌نهایت برابر است با اینفیمم اینفیمم مجموعه‌ها.
به طور مثال زیرمجموعه‌های محدود A و B از پوزت L:
که اثبات اصل A∪∅=A است.
عضو y شبکهمشبکه پوشاننده عضو دیگر x است اگر y>x، اما عضوی مثل z وجود نداشته باشد که y>z>xاینجا y>x به این معناست که x≤y و x≠y.
یک شبکهمشبکه (L,≤) درجه دار نام دارد یا مرتبه دار نام دارد اگر دارای یک تابع رتبه r از L به N یا گاهی به Z، سازگار با ترتیب (هرگاه x<y آنگاه r(x)<r(y)) به طوری که هرگاه y، x را بپوشاند، آنگاه r(y)=r(x)+1.
مقدار تابع رتبه برای هر عضو شبکه،مشبکه، رتبه آن عضو نام دارد.
با توجه به یک زیر مجموعه از یک شبکهمشبکه که H زیر مجموعه L باشد، سوپریمم و اینفیمم محدود به توابع جزئی – تعریف نشده‌اند اگر مقدار آنها در زیر مجموعه H نیست. ساختار حاصل شده روی H یک شبکهمشبکه جزئی نام دارد. علاوه بر این تعریف بیرونی به عنوان زیر مجموعه‌ای از ساختارهای جبری دیگر، یک شبکهمشبکه جزئی همچنین می‌تواند ذاتاً به عنوان یک مجموعه با دو عملگر دودوئی جزئی که بدیهیات را تأیید می‌کند تعریف شود.
شبکه‌ها== مشبکه‌ها به عنوان ساختارهای جبری ==
شبکهمشبکه عمومی
یک ساختار جبری، ∨,∧). (L تشکیل شده از یک مجموعه L و دو ::عملگر دودویی ∨,∧ رویL یک شبکه است.
== اشکال شبکهمشبکه ==
یک مفهوم مناسب از ریخت (شکل) بین دو شبکهمشبکه به آسانی از تعریف جبری بالا بر می آید.
دو شبکهمشبکه (L, ∨L, ∧L) و (M, ∨M, ∧M) در نظر بگیرید. یک شبکهمشبکه هم ریخت از Lبه M به صورت تابع f: L است که M شامل همهٔ a,bهایی عضو L است.
f(a∨Lb) = f(a) ∨M f(b), and
f(a∧Lb) = f(a) ∧M f(b).
بنابراین f یک هم ریخت[[همریختی|همریخت]] از دو شبه شبکهمشبکه است.
هم چنین وقتی که شبکه‌هاییمشبکه‌هایی با ساختارهای بیشتری در نظر گرفته شوند، ریخت‌ها بایستی به بیشترین ساختار نسبت داشته باشند.
به ویژه در یک شبکهمشبکه هم ریخت محدود (که معمولاً همان «شبکهمشبکه همریخت» گفته می‌شود) تابع f بین دو شبکهمشبکه کران دار L و M ویژگی زیر را داراست:
f(0L) = 0M
f(1L) = 1M
طبق ترتیب فرمول بندی نظری این شرایط تنها بیان می‌کند که<ref>هم ریختی</ref> شبکه‌هامشبکه‌ها تابعیست که تلاقی و اتصال‌های دودویی را حفظ می‌کند.
برای شبکه‌هایمشبکه‌های کران دار حفظ کردن کوچکترین و بزرگترین عنصر درواقع همان حفظ تلاقی و اتصال یک مجموعه خالی است.
هر هم ریختی شبکه‌هامشبکه‌ها الزما یک رابطه ترتیبی یکنوا است. اما برعکس این مطلب درست نیست. اگرچه ترتیب دو طرفه حفظ شونده یک هم ریخت است اگر وارون ان هم یک ترتیب حفظ شونده باشد.
یک شبکهمشبکه یک ریخت درواقع یک شبکهمشبکه هم ریخت دو طرفه است.
متشابها یک شبکهمشبکه درون ریخت یک شبکهمشبکه هم ریخت است از یک شبکهمشبکه درون خودش.
هم چنین یک شبکهمشبکه خود ریخت یک شبکهمشبکه دو طرفه درون ریخت است.
در واقع شبکه‌هامشبکه‌ها و هم ریخت‌های آنها یک دسته را تشکیل می‌دهند.
== زیرشبکه‌هازیرمشبکه‌ها ==
یک زیرشبکهزیرمشبکه ازشبکهاز مشبکه L یک مجموعه غیر تهی است ازL که در واقع شبکهمشبکه ایست با تلاقی و اتصال‌هایی مشابه L
یک زیرشبکهزیرمشبکه M از یک شبکهمشبکه L یک زیر شبکهمشبکه برجسته L است اگرx ≤ z ≤ y و x,yموجود در M نشان می‌دهد که zمتعلق به M است برای هر x,y,zعضوL.
== ویژگی شبکه‌هامشبکه‌ها ==
در زیر تعدادی از ویژگی‌های مهم یک شبکهمشبکه مطرح شده است:
=== تمامیت (کمال) ===
یک مجموعه مرتب جزیی شبکهمشبکه کامل نامیده می‌شود اگر همهٔ زیر مجموعه‌هایش هر دوی اتصال و تلاقی را دارا باشند. به ویژه هر شبکهمشبکه کامل یک شبکهمشبکه کران دار است. در حالیکه شبکه‌هایمشبکه‌های کران دار هم ریخت در کل فقط اتصال و تلاقی ::متناهی را حفظ می‌کنند شبکه‌هایمشبکه‌های کامل هم ریخت می‌بایستی ::اتصال و ::تلاقی دلخواه را حفظ کنند.
هر مجموعه مرتب جزیی که یک زیر شبکهمشبکه کامل است یک شبکهمشبکه کامل نیز می‌باشد.
شایان ذکر است که شبکهمشبکه جزیی در تضاد با شبکهمشبکه کامل نیست زیرا کلیهٔ مفهوم‌های شبکهمشبکه و شبکهمشبکه کامل و شبکهمشبکه جزیی تعاریفی محدود هستند.
=== تکامل شرطی ===
یک شبکهمشبکه کامل مشروط شبکهمشبکه ایست که هر زیرمجموعه ناتهی که کران بالا دارد یک نقطه اتصال دارد (منظور از کران بالا کوچکترین کران بالا است)
=== توزیع پذیری ===
هنگامیکه شبکه‌هامشبکه‌ها در عملیات [[دودویی]] قرار گیرند این رایج است که سؤال شود کدام یک بر دیگری توزیع پذیر است.
توزیع پذیری عطف و فصل:
a∨(b∧c) = (a∨b) ∧ (a∨c).
a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ c
== شبکه‌هایمشبکه‌های ازاد ==
هر مجموعهٔ X برای تولید زیر شبکه‌هایمشبکه‌های آزاد FX مورد استفاده قرار می‌گیرد. یک زیر شبکهمشبکه آزاد شامل تمامی زیر مجموعه‌های متناهی X است.
== پی‌نوشت و منبع ==
| 