نظریه مجموعه‌ها: تفاوت میان نسخه‌ها

 

== تاریخچه ==

== مقداری هستی شناسی ==

{{اصلی| جهان ون نویمان}}

یک مجموعه هنگامی [[خالص]] است که همه اعضایش مجموعه باشند، و همهٔ اعضای اعضایش مجموعه باشند و به همین ترتیب... برای مثال، مجموعه {{math| {{}} }} که تنها مجموعه تهی را در بردارد یک مجموعه خالص ناتهی است. در نظریه مدرن مجموعه‌ها، معمول است که توجه را به '''[[جهان ون نویمان]]''' مجموعه‌های خالص معطوف کرد، و تعداد زیادی از سیستم‌های نظریه بنداشتی مجموعه‌ها طراحی شده‌اند که تنها مجموعه‌های خالص را (axiomatize) کنند. این محدودیت از نظر فنی امتیازهای زیادی به همراه دارد و به کلیت خیلی کم لطمه می‌زند، زیرا به طرز ویژه‌ای همه مفاهیم ریاضی می‌توانند با استفاده از مجموعه‌های خالص باز سازی شوند. مجموعه‌ها در جهان ون نویمان با توجه به اینکه چقدر عمیق اعضایشان، اعضای اعضایشان و... در هم قرار گرفته‌اند در یک [[سلسله مراتب انباشته]] مرتب می‌شوند. هر مجموعه از این سلسله مراتب با یک عدد ترتیبی α مشخص می‌گردد (با استفاده از [[استقرای ترامتناهی]])، که به عنوان '''مرتبه''' آن شناخته می‌شود. مرتبه یک مجموعه خالص X به عنوان [[کوچکترین کران بالا]]ی همه [[جانشین]]‌های مرتبه‌های اعضای X تعریف می‌شود. برای مثال، مجموعه تهی مرتبه ۰ خوانده می‌شود، درحالی که مجموعه {{math| <nowiki>{{}}</nowiki> }} که تنها شامل مجموعه تهی است مرتبه ۱ خوانده می‌شود. برای هر عدد ترتیبی α، مجموعه ''V''_α به عنوان مجموعه‌ای تعریف می‌شود که شامل همه مجموعه‌های خالص با مرتبه کمتر از α است. کل جهان ون نویمان با ''V'' نشان داده می‌شود.

 

 

== کاربردها ==

نظریه مجموعه‌ها همچنین یک سازمان نویدبخش برای بیشتر ریاضیات است. از زمان انتشار اولین جلد «[[مبادی ریاضیات]]» ادعا شده است که بیشتر و یا حتی همه نظریه‌های ریاضی می‌توانند با استفاده از یک مجموعهٔ اصول موضوعه خوب طراحی شده برای نظریه مجموعه‌ها که به وسیله تعریف‌های زیادی بهبود یافته، با استفاده از [[منطق مرتبه اول]] یا [[منطق مرتبه دوم]]، مشتق شوند. برای مثال، خواص [[اعداد طبیعی]] و [[اعداد حقیقی]] از دل نظریه مجموعه‌ها نتیجه می‌شود، هر سیستم عددی را با یک [[کلاس هم‌ارزی]] تحت یک [[رابطه هم‌ارزی]] مناسب با زمینه یک مجموعه [[نامتناهی]] شناخت.

نظریه مجموعه‌ها به عنوان یک نظام برای [[آنالیز ریاضی]]، [[توپولوژی]]، [[جبر مجرد]] و [[ریاضیات گسسته]]، مشابها بدون بحث است. ریاضیدانان می‌پذیرند که نظریه‌های این ناحیه می‌توانند از تعریف‌های مرتبط و اصول موضوعه نظریه مجموعه‌ها ناشی شوند. تعداد کمی از مشتقات کامل نظریه‌های پیچیده ریاضی از نظریه مجموعه‌ها رسماً تأیید شده‌اند، هرچند مشتقات رسمی اینچنین معمولاً از اثبات‌های زبان طبیعی که ریاضی‌دان‌ها معمولاً ارائه می‌دهند بسیار طولانی ترند. یک پروژه تأیید صحت [[Metamath]]، شامل مشتقات بیش از ۱۰۰۰۰ نظریه از اصول موضوعه [[ZFC]] تا استفاده از [[منطق مرتبه اول]] می‌شود.

 

{{داده‌های کتابخانه‌ای}}

[[رده:نظریه مجموعه‌ها]]

[[رده:روش‌های صوری]]