دستگاه مختصات قطبی: تفاوت میان نسخه‌ها

{{multiple image

| width = 220

 

| image1 = Poolarcoordinates2.jpg

| alt1 =

| image2 = CircularCoordinates.svg

}}

'''دستگاه مختصات قطبی'''، یک [[دستگاه مختصات]] [[بعد|دوبعدی]] است که در آن مکان هر نقطه، با فاصلهٔ آن تا مرکز مختصات (r) و زاویه بین خط رسم‌شده از مرکز به آن نقطه و محور طول، (θ) مشخص می‌شود. این دستگاه در سه بعد به [[دستگاه مختصات استوانه‌ای]] و [[دستگاه مختصات کروی]] تبدیل می‌شود.

 

اولین استفاده‌های مشابه که به ایجاد کنونی این دستگاه انجامیده‌است توسط [[ابوریحان بیرونی]] انجام شد.<ref name=enwp>Wikipedia contributors, "Polar coordinate system," Wikipedia, The Free Encyclopedia, http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Polar_coordinate_system&oldid=369353300 (accessed June 29, 2010).</ref>

== کاربرد ==

 

 

== نمایش نقاط ==

یک نقطه در دو نوع مختصات [[دستگاه مختصات دکارتی|دکارتی]] و قطبی به صورت زیر به یکدیگر قابل تبدیل هستند:

:<math>y = r \sin \theta, \,</math>

و برای تبدیل مختصات دکارتی به قطبی از فرمول‌های زیر استفاده می‌شود:

:<math>\theta =

\begin{cases}

\arctan(\frac{y}{x}) + \pi & \mbox{if } x <0 \mbox{ and } y \ge 0\\

\arctan(\frac{y}{x}) - \pi & \mbox{if } x <0 \mbox{ and } y <0\\

\end{cases}</math>

 

 

<math>z=r \cdot(cos \theta +isin \theta)\!</math>

<math>z = re^{i\theta} \,</math>

 

[[پرونده:Rose-rhodonea-curve-7x9-chart.svg|چپ|بندانگشتی|250px|انواع گل‌ها با a و n متغیر]]

معادله‌ای که در دستگاه مختصات قطبی صدق کند معادله قطبی نامیده می‌شود معروف‌ترین معادله‌های قطبی عبارتند از:

!نام!!معادله!!تصویر!!توضیحات

|-

|-

|خط موازی محور xها در دستگاه دکارتی||<math>r sin \theta =b \!</math>||[[پرونده:FuncionLineal06.svg|60px]]||b ثابت است.

|خط موازی محور yها در دستگاه دکارتی||<math>r cos \theta =a\!</math>||[[پرونده:FuncionLineal07.svg|60px]]||a ثابت است.

|-

|-

|[[#حلزونی‌ها|حلزونی‌ها]]||<math>r = a + b cos \theta \!</math>||[[پرونده:Limacons.svg|60px]]||a و b ثابت‌اند

|Lemniscate of Bernoulli<ref>Wikipedia contributors, "Lemniscate of Bernoulli," Wikipedia, The Free Encyclopedia, http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Lemniscate_of_Bernoulli&oldid=362103502 (accessed June 29, 2010).</ref>||<math>r = a \sqrt{2 \cos(2\theta)}</math>||[[پرونده:Lemniscate of Bernoulli.svg|60px]]||

|}

=== دلگون‌ها ===

معادله اصلی دلگون‌ها به صورت <math>r = a + b cos \theta \!</math> می‌باشد اگر a و b مثبت باشند دلگون می‌تواند شکل‌های زیر را بگیرد.

|<math>0<\frac{a}{b}<1</math>||حلزونی با یک طوقه||-

|-

|-

|<math>1<\frac{a}{b}<2</math>||حلزونی با یک فرورفتگی||-

|مارپیچ فرما||<math>r^2 = 8 \theta \!</math>||-

|}

=== طول کمان معادلات و انتگرال آنها ===

طول کمانی در مختصات قطبی که معادله آن معلوم باشد از [[محاسبه انتگرال]] زیر بدست می‌آید:

 

== اعمال برداری ==

== منابع ==

{{پانویس}}