نظریه مجموعه‌ها: تفاوت میان نسخه‌ها

یک [[رابطه دودویی]] برگرفته بین مجموعه‌ها رابطه زیرمجموعه‌ای است، که '''شمول مجموعه''' نیز نامیده می‌شود. اگر همه اعضای {{math|''A''}} اعضای {{math|''B''}} نیز باشند، {{math|''A''}} زیر مجموعه {{math|''B''}} است، که {{math|''A'' ⊆ ''B''}} نمادگذاری می‌شود. برای مثال، {{math|{۱٬۲}}} یک زیر مجموعه {{math|{۱٬۲٬۳}}} است. اما {{math|{۱٬۴}}} نیست. با این تعریف، واضح است که هر مجموعه زیر مجموعه خودش است؛ در صورتی که نخواهیم این مورد را به حساب بیاوریم، عبارت [['''زیرمجموعه سره''']] تعریف شده است. {{math|''A''}} '''زیر مجموعه سره''' {{math|''B''}} است اگر و فقط اگر {{math|''A''}} زیر مجموعه {{math|''B''}} باشد ولی {{math|''B''}} زیر مجموعه {{math|''A''}} '''نباشد'''.

همانند [[حسابان]] که [[عملیات دودویی]] را روی [[اعداد]] پیاده‌سازی می‌کند، نظریه مجموعه‌ها نیز عملیات دودویی را روی مجموعه‌ها اعمال می‌کند.

* '''[[اشتراک]]''' مجموعه‌های {{math|''A''}} و {{math|''B''}}، مجموعه {{math|''A'' ∩ ''B''}} مجموعه تمام اشیایی است که هم عضو {{math|''A''}} و هم عضو {{math|''B''}} هستند. اشتراک {{math|{۱, ۲, ۳}}} و {{math|{۲, ۳, ۴}}} مجموعه {{math|{۲, ۳}}} است.

* '''[[تفاضل]]''' مجموعه‌های {{math|''U''}} و {{math|''A''}}، مجموعه {{math|''U'' \ ''A''}}، مجموعه تمام اعضایی است که عضو {{math|''U''}} هستند ولی عضو {{math|''A''}} نیستند. تفاضل {{math|{۱٬۲٬۳} \ {۲٬۳٬۴}}} مجموعه {{math|{۱}}} است؛ و برعکس تفاضل {{math|{۲٬۳٬۴} \ {۱٬۲٬۳}}} مجموعه {{math|{۴}}} است. وقتی که {{math|''A''}} زیر مجموعه {{math|''U''}} است، تفاضل {{math|''U'' \ ''A''}} '''[[متمم (نظریه مجموعه‌ها)|متمم]]''' {{math|''A''}} در {{math|''U''}} نیز خوانده می‌شود. در این مورد، اگر انتخاب {{math|''U''}} از متن معلوم باشد، نماد {{math|''A''^''c''}} بعضی اوقات به جای {{math|''U'' \ ''A''}} استفاده می‌شود، مخصوصاً وقتی {{math|''U''}} مانند مطالعه [[نمودار ون]] [[مجموعه جهانی]] باشد.