مشتق: تفاوت میان نسخه‌ها

'''مشتق''' ایدهٔ اصلی [[حساب دیفرانسیل]]، بخش اول [[آنالیز ریاضی]] است که نرخ لحظه‌ای (یا نقطه‌ای) تغییرات [[تابع]] را نشان می‌دهد. مشتق نیز، نظیر [[انتگرال]]، از مسئله‌ای در هندسه،[[هندسه]]، یعنی یافتن [[مماس|خط مماس]] در یک نقطه از منحنی ناشی شده‌است.

مفهوم مشتق تا اوائل قرن ۱۷ میلادی، یعنی تا قبل از آنکه [[ریاضی‌دان]] فرانسوی، [[پییر دو فرما]] به تعیین [[اکسترمم]]‌های چند تابع خاص دست بزند، تنظیم نشده بود. فرما دریافت که خطوط مماس، در نقاطی که منحنی [[بیشینه و کمینه|ماکزیمم یا مینیمم]] دارد، باید [[افق|افقی]] باشد. از اینرو به نظرش رسید که مسئلهٔ تعیین نقاط [[بیشینه و کمینه|اکسترمم]] تابع، به حل مسئلهٔ دیگر، یعنی یافتن مماس‌های افقی مربوط می‌شود، تلاش برای حل این مسئلهٔ کلی‌تر بود که فرما را به کشف برخی از ایده‌های مقدماتی مفهوم مشتق هدایت کرد.

در نگاه نخست اینطور به نظر می‌رسید که بین مسئلهٔ یافتن [[مساحت]] سطح زیر یک [[نمودار]] و موضوع تعیین خط مماس بر منحنی در یک نقطه رابطه‌ای وجود ندارد، اما اولین کسی که دریافت این دو مفهومِ به ظاهر دور از هم، در واقع ارتباط نسبتاً نزدیکی با هم دارند [[آیزاک بارو]] معلم [[آیزاک نیوتون]] بوده‌است.

اما مفهوم مشتق به شکل امروزی آن، نخستین بار در سال ۱۶۶۶ میلادی توسط نیوتون و به فاصلهٔ چند سال بعد از او، توسط [[گوتفرید لایب نیتس]]، مستقل از یکدیگر پدید آمد. این دو [[دانشمند]] در ادامهٔ کار خود، باز هم به طور مستقل، بخش دوم آنالیز ریاضی یعنی [[حساب انتگرال]] را عرضه کردند که اساس آن بر عمل انتگرال‌گیری قرار دارد.

نیوتون از شیوهٔ استدلال [[سینماتیک]] و با دیدگاه فیزیکی به بررسی مشتق پرداخته و از آن برای بدست آوردن سرعت لحظه‌ای استفاده می‌کرد. اما لایب نیتس با دیدگاهی هندسی، از مشتق برای بدست آوردن ضریب زاویهٔ مماس در [[منحنیخم|منحنی‌ها]]‌ها استفاده می‌کرد. هر یک از این دو دانشمند نمادهای جداگانه‌ای را برای نشان دادن مشتق به کار می‌بردند.<ref>{{یادکرد کتاب | عنوان=حساب دیفرانسیل و انتگرال| نویسنده=آدامز، کریستوفر اسکس | سال=۲۰۰۹ | ترجمه=| ناشر=Pearson Education Canada |چاپ=هفتم |شابک= 9780321549280}}</ref><ref name="ReferenceA">{{یادکرد کتاب | عنوان=A History of Mathematics| نویسنده=[[کارل بویر]] | سال=۱۹۶۸ | ترجمه= | ناشر= |چاپ= |شابک=}}</ref>

[[گوتفرید لایبنیتس|لایبنیتس]] در سال ۱۶۷۵ میلادی با استفاده از [[عملگر تفاضلی]] <math>\Delta \!</math> خارج قسمت تفاضلی <math>\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}</math> را به شکل <math>\frac{\Delta y}{\Delta x}</math> نوشت و برای مشتق تابع <math>f \!</math> در <math>x \!</math> نماد <math>\frac{\operatorname dy}{\operatorname dx} \!</math> را معرفی کرد که به صورت <math>\frac{\operatorname d}{\operatorname dx} f (x)</math> نیز نوشته می‌شود. این نماد که نمایش دیفرانسیلی مشتق نامیده می‌شود، برای نمایش مشتق مراتب بالاتر به شکل <math>\frac{\operatorname d^n}{\operatorname dx^n}f(x)</math> نوشته می‌شود. با استفاده از این نماد تعریف مشتق به صورت <math>\frac{\operatorname dy}{\operatorname dx} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} \!</math> در می‌آید.