تابع محدب: تفاوت میان نسخه‌ها

جز
جز (←‏جایگزینی با [[وپ:اشتباه|اشتباه‌یاب]]: پیوندزننده‌ی⟸پیونددهندۀ،)
[[پرونده:ConvexFunction.svg|تابع کوژ بر یک بازه|بندانگشتی|500px]]
'''تابع کوژ'''<ref>[http://www.srtc.ac.ir/fa/Dictionary/ از اصطلاحات مورد استفادهٔ پژوهشکدهٔ آمار]</ref> <ref>{{یادکرد وب|نشانی=http://www.persianacademy.ir/fa/word/|عنوان=فرهنگستان زبان و ادب فارسی|ناشر=www.persianacademy.ir|بازبینی=2016-10-14}}</ref> یا '''محدب'''، [[تابع پیوسته|تابعی پیوسته]] است که اگر دو نقطه دلخواه بر روی این تابع در نگر بگیریم، پاره‌خط پیونددهندۀپیونددهندهٔ این دو نقطه همواره زیر این نمودار جای می‌گیرد.
 
تابع‌های <math>f(x)=x^2</math> و [[تابع نمایی]] <math>f(x)=e^x</math> دو نمونه آشنا از توابع کوژ هستند. بسیاری از نابرابری‌های متداول در [[آنالیز ریاضی]] ریشه در کوژی دارند. نابرابری‌های [[نابرابری ینسن|ینسن]]، [[نابرابری هولدر|هولدر]]، [[نابرابری مینکوفسکی|مینکوفسکی]] چند نمونه از این نابرابری‌ها هستند.
{{پاک‌کن}}
 
== تعریف ==
فرض کنیم <math>-\infty\le a<b\le+\infty</math>، تابع <math>f:(a,b)\to \mathbb R</math> را کوژ گوییم در صورتی که به ازای هر دو عدد <math>x_1,x_2\in(a,b)</math> و هر <math>t</math> که <math>0\le t\le1</math>، داشته باشیم:
 
{{چپ‌چین}}<math>\forall x_1 \neq x_2 \in X, \forall t \in (0, 1): \qquad f(tx_1+(1-t)x_2) < t f(x_1)+(1-t)f(x_2).</math>{{پایان چپ‌چین}}
 
== خاصیت‌ها ==
==خاصیت ها==
{{چپ‌چین}}<math> R(x_1,x_2) = \frac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1 - x_2}</math>{{پایان چپ‌چین}}
 
 
{{چپ‌چین}}<math>f(tx) = f(tx+(1-t)\cdot 0) \le t f(x)+(1-t)f(0) \le t f(x), \quad \forall t \in[0,1].</math>{{پایان چپ‌چین}}
 
 
{{چپ‌چین}}<math>f(a) + f(b) = f \left((a+b) \frac{a}{a+b} \right) + f \left((a+b) \frac{b}{a+b} \right) \le \frac{a}{a+b} f(a+b) + \frac{b}{a+b} f(a+b) = f(a+b)</math>{{پایان چپ‌چین}}
 
== جستارهای وابسته ==
* [[مجموعه محدب]]
* [[بهینه‌سازی محدب]]
* [[تابع کاو]]
 
== منابع ==
{{پانویس}}
* {{یادکرد کتاب | همان = | نام خانوادگی =مدقالچی | نام =علیرضا | پیوند نویسنده =علیرضا مدقالچی | عنوان =آنالیز ریاضی ۱ | ترجمه = | جلد = | سال=۱۳۸۸ | ماه = | سال اصلی = | |چاپ=نهم | ناشر =دانشگاه پیام نور | مکان =تهران | شابک =۹۷۸-۹۶۴-۴۵۵-۹۲۳-۵}}