فرایند پواسون: تفاوت میان نسخه‌ها
محتوای حذف‌شده محتوای افزوده‌شده
خنثی‌سازی ویرایش 16897870 توسط 188.210.113.10 (بحث)اگر نمی‌خواست از اول نمی‌گذاشتند! |
جز ربات ردهٔ همسنگ (۲۶) +املا+مرتب+تمیز (۱۲.۵ core): + رده:فرآیندهای لوی+رده:فرایندهای مارکف |
||
خط ۱:
'''فرایند پواسون''' (به انگلیسی: Poisson process) یک [[فرایند تصادفی|فرایندی تصادفی]] [[فرایند شمارشگر|شمارشگر]] است که پیرامون وقوع رخدادهای تصادفی بر روی یک طول زمانی، یا یک فاصلهٔ مکانی تعریف می‌شود.
از این فرایند برای [[مدل سازی]] واپاشی رادیواکتیو، تماس های تلفنی و انتقال داده از سایتهای اینترنتی استفاده می شود.
فرایند پواسون فرایند پیوسته در زمان است. همان طور که [[فرایند برنولی]] را گسسته در زمان نامید.
خط ۵:
== تعریف ریاضی ==
به [[فرایند شمارشگر]] <math>\{N(t);t \geqslant 0\}</math> فرایند پواسون با نرخ <math>\lambda> 0</math>
,<math>\lambda</math>, گفته می شود اگر
* <math>N(0)=0</math>
* فرایند افزایشی مستقل باشد.
* تعداد رویداد های اتفاق افتاده در بازه ی زمانی به طول <math>\tau</math> به صورت پواسون توزیع شده است و میانگین
<math>Pr\{N(t+\tau)-N(t)=k\} = \frac{e^{-\lambda \tau} (\lambda \tau)^k}{k!} \qquad k= 0,1,\ldots,</math>
خط ۱۴:
<math>
\operatorname{E}[N(\tau)] = \lambda\tau
</math>
که در واقع توضیح می دهد که چرا نرخ فرایند است.
خط ۲۰:
=== همگن ===
فرایند همگن پواسون با پارامتر λ مشخص می شود که به نوعی شدت را نشان می دهد. تعداد پیشامد ها در یک [[بازه]] زمانی (''t'', ''t'' + ''τ'']
:<math> P [(N(t+ \tau) - N(t)) = k] = \frac{e^{-\lambda \tau} (\lambda \tau)^k}{k!} \qquad k= 0,1,\ldots,</math>
خط ۳۰:
== ناهمگن ==
در حالت کلی پارامتر λ می تواند با زمان تغییر کند و با (''λ(t'' نمایش داده می شود. در این صورت به این فرایند، '''فرایند ناهمگن پواسون''' می گویند.
امید vیاضی تعداد پیشامدها در بازه زمانی a تا b را با رابطه
خط ۴۴:
=== فرایند فضایی ===
یکی از انواع مهم فرایند پواسون، فرایند فضایی پواسون است. در این فرایند اگر فضا را یک بعدی (خط) در نظر گرفته شود تفاوت آن با فرایند پواسون وابسته به زمان در تفسیر متغیر شاخص آن است. اما اگر ابعاد بالاتری از این فرایند درنظر گرفته شود در این صورت متغیر شاخص [[فضای برداری]] مانند '''R'''<sup>2</sup>
لازم است بدانیم جمع دو متغیر تصادفی مستقل با توزیع پواسون نیز متغیر تصادفی با توزیع پواسون خواهد بود و پارامتر آن برابر مجموع پارامترهای دو توزیع اولیه است.
خط ۵۱:
این نوع از فرایندهای پواسون وابسته هر دو مقدار [[فضا و زمان]] است. می توان در عمل با پارامتر در نظر گرفتن هر کدام از فضا و زمان در این فرایند آن را مانند فرایند زمانی یا فضایی مورد بررسی قرار داد. در اکثر مواقع این فرایند در زمان و فضا جداگانه بررسی می شود.
در مقایسه با فرایند ناهمگن پواسون، در این فرایند پارامتر λ وابسته به فضا نیز هست و به شکل <math>\lambda(x,t)</math> نمایش داده می شود که ''x'' در آن عضو فضای برداری ''V'' است. اگر λ نبست به هر دوی فضا و زمان ثابت باشد تعداد پیشامدهای اتفاق افتاده در یک ناحیه را می توان با فرایند پواسون مدل سازی کرد. اگر برای هر مجموعه <math>S \subset V</math>
:<math>\lambda_S(t) = \int_S \lambda(x,t)\,d\mu(x).</math>
خط ۶۵:
:<math>P(T_1>t)=P(N(t)=0)=P [(N(t) - N(0)) = 0] = \frac{e^{-\lambda t} (\lambda t)^0}{0!} = e^{-\lambda t}.</math>
همان طور که دیده زمان انتظار اولین پیشامد توزیع نمایی با پارامتر λ دارد و در نتیجه بدون حافظه است. می توان نشان داد این رابطه برای زمان میان هر دو پیشامد متوالی نیز برقرار است. اگر بازه های زمان بین دو پیشامد متوالی را در نظر بگیریم
برای مثال اگر
== منابع ==
خط ۸۶:
[[رده:فرایند پواسون]]
[[رده:فرایندهای لوی]]
[[رده:فرایندهای تصادفی]]
[[رده:فرایندهای مارکف]]
| |||