تفاوت میان نسخه‌های «تابع»

۵۱ بایت حذف‌شده ،  ۳ سال پیش
جز
اصلاح یا حذف شابک نادرست، + ماژول ابرابزار با استفاده از AWB
جز (ویرایش 188.158.11.228 (بحث) به آخرین تغییری که YamahaBot انجام داده بود واگردانده شد)
جز (اصلاح یا حذف شابک نادرست، + ماژول ابرابزار با استفاده از AWB)
تعریف تابع در [[علم رایانه]]، به عنوان حالت خاصی از یک رابطه، به طور گسترده‌تر در [[منطق]] و [[علم تئوری رایانه]] مطالعه می‌شود.
 
== در دیگر دانش‌ها ==
تابع‌ها در شاخه‌های گوناگون دانش کاربرد فراوان دارند. برای نمونه در [[فیزیک]]، هنگامی که می‌خواهیم رابطه بین چند متغیر را بیان کنیم، به ویژه هنگامی که مقدار یک متغیر کاملاً وابسته به متغیرهای دیگر است از تابع بهره می‌بریم.
 
تابع در دانش‌های گوناگون بیشتر به عنوان عملگر است که کاری را بر روی داده‌های ورودی‌ ورودی می‌انجامد. تابع را همچنین مورد استفاده در [[علم رایانه]] برای مدل‌سازی [[ساختمان داده|ساختمان داده‌ها]]‌ها و تأثیرات [[الگوریتم]] می‌بینیم.
 
== تعریف تابع ==
اما همان‌طور که در گذشته نیز اشاره شد و از تعریف فوق نیز قابل برداشت است، برد f در حالت کلی لزوماً برابر مجموعه Y نمی‌باشد بلکه زیرمجموعه‌ای از آن است. برای تمایز بین مجموعه Y و برد تابع f به مجموعه Y ''[[همدامنه]]'' تابع f می‌گویند و آن را با codom''f'' نشان می‌دهیم و بنا بر آنچه گفته شد، برد تابع زیرمجموعه‌ای از همدامنه‌اش هست.
 
به عنوان مثال فرض کنید {X={۱٬۲٬۳ و {Y={a,b,c,d و تابع f:X→Y به صورت {(f={(۱,a),(۲2,b),(۳,c تعریف شده باشد. وضوحاً دامنه این تابع مجموعه X است (می‌توان برای تعیین آن مجموعه همه مولفه‌های اول زوج‌های مرتب f را در نظر گرفت) ولی برد آن بنابه تعریف مجموعه {a,b,c} است که آشکارا زیرمجموعه حقیقی Y است. (یعنی زیرمجموعه آن است ولی با آن برابر نمی‌باشد)
 
در حقیقت برد تابع f مجموعه همه مولفه‌های دوم زوج مرتب‌های f است. مجموعه همه عناصری از Y که به ازای یکx∈X داشته باشیم (y=f(x.
 
== تحدید و توسیع ==
فرض کنید f:X→Y یک تابع و A زیرمجموعه‌ای از X باشد. در این صورت یک روش برای ساختن تابعی چون g از مجموعه A به مجموعه Y این است که برای هر g(x)،, x∈A را مساوی (f(x تعریف کنیم. یعنی تابع g:A→Y با ضابطه
(g(x)=f(x. بر خواننده‌است که خوش تعریفی این تابع را تحقیق کند. ممکن است راه دیگری نیز برای بیان این مطلب بیابیم و آن این است که دامنه تابع f را به زیرمجموعه A از X تقلیل دهیم. در این صورت تابعی خواهیم داشت که این بار نه بر روی همه اعضای X بلکه فقط بر روی عناصر زیرمجموعه خاصی از X یعنی A اثر می‌کند و لذا دامنه آن از X به A تغییر می‌یابد. چنین تابعی را که همان g است ''تحدید'' تابع f به مجموعه A می‌گوییم و آن را با f|A یا f<sub>|A</sub> نشان می‌دهیم. با این نمادگذاری داریم g=f<sub>|A</sub>. همچنین تابع f را ''توسیع'' تابع g به مجموعه X می‌گوییم.
 
این روش گرچه مناسب است ولی برای نمایش همه توابع بویژه توابعی با دامنه اعداد حقیقی (و به طور کلی توابعی که عددی هستند) چندان کاربرد ندارد.
اگر <math>f</math> تابعی با دامنه اعداد حقیقی <math>R</math> باشد آن را [[تابع حقیقی]] می‌گوییم و برای نمایش نمودار آن از [[دستگاه مختصات دکارتی]] استفاده می‌کنیم. روش کار به این صورت است که برای هر <math>x \in R</math> زوج مرتب <math>((x,f(x)</math> که نماینده نقطه‌ای در [[صفحه دکارتی]] است را رسم می‌کنیم و به این ترتیب نمودار تابع <math>f</math> حاصل می‌شود.
رسم نمودار تابع، باعث می‌شود دیدی کلی نسبت به آن تابع پیدا کنیم و همچنین بسیاری از خواص مربوط به توابع بویژه توابع حقیقی، مانند [[پیوستگی]]، [[مشتق|مشتق پذیری]]، [[نقطه بحرانی|نقاط بحرانی]] و [[نقطه عطف|عطف]]، [[تابع یکنوا|صعودی یا نزولی]] بودن و...و… از روی نمودار آنها قابل تعیین است. به عنوان مثال با بررسی شکل (۴) می‌توان گفت این تابع در چه بازه‌هایی صعودی و در چه بازه‌هایی [[تابع یکنوا|نزولی]] است، این تابع در سراسر دامنه خود [[پیوستگی|پیوسته]] و [[مشتق|مشتق پذیر]] است، دارای دو [[نقطه بحرانی]] و یک [[نقطه عطف]] است.
[[پرونده:Notfunction.jpg|بندانگشتی|شکل ۵]]
همچنین از روی نمودار یک رابطه می‌توان تابع بودن آن را بررسی کرد. به عنوان مثال نمودار شکل (۱) معرف یک تابع نیست، زیرا عضو ۳ به دو مقدار متناظر شده‌است. همچنین در نمودار رسم شده در دستگاه دکارتی در شکل (۵)، برای هر [[عدد حقیقی]] مثبت x دو مقدار وجود دارد. به طور کلی یک نمودار در دستگاه مختصات دکارتی یک تابع است اگر هر خط عمودی مرسوم بر [[محور ایکس‌ها|محور <math>x</math>ها]] نمودار را حداکثر در یک نقطه قطع کند.
{{پانویس}}
<small>{{چپ‌چین}}
* Lawrence S. Husch (۲۰۰۱2001). [http://archives.math.utk.edu/visual.calculus/ <cite>Visual Calculus.</cite>] [[دانشگاه تنسی|University of Tennessee]].
* João Pedro da Ponte (۱۹۹۲1992). The history of the concept of function and some educational implications. <cite>The Mathematics Educator</cite> '''۳'''(۲), ۳-۸۳–۸. ''available online in [http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/jponte/docs-uk/۹۲%۲۰Ponte%۲۰(Functions).doc Microsoft Word] and [http://jwilson.coe.uga.edu/DEPT/TME/issues/v۰۳n۲v03n۲/ponte.html HTML] formats''.
* Anton, Howard (۱۹۸۰1980). ''Calculus with analytical geometry.''. New York:John Wiley and Sons. ISBN ۰0-۴۷۱471-۰۳۲۴۸03248-۴4.
{{پایان چپ‌چین}}
* {{یادکرد|کتاب=نظریه طبیعی مجموعه‌ها|نویسنده = [[پل ریچارد هالموس]]|ترجمه=عبدالحمید دادالله|ناشر =مرکز نشر دانشگاهی|چاپ=نوبت چاپ|شهر=تهران|سال=۱۳۷۳|شابک=ISBN ۹۶۴-۰۱-۰۰۵۲-۸}}