نظریه ارگودیک: تفاوت میان نسخهها
محتوای حذفشده محتوای افزودهشده
بدون خلاصۀ ویرایش |
|||
خط ۱:
در [[ریاضیات]]، به یک تبدیل اندازهنگهدار ''T'' در [[فضای احتمال]]، ارگودیک گفته میشود اگر تمام مجموعههای اندازهپذیر ثابت تحت ''T'' دارای اندازههای ۰ یا ۱ باشند. یک عبارت قدیمیتر برای این خاصیت [[تراگذری]] متریک بوده است. '''نظریهٔ ارگادیک''' و مطالعات تبدیلات ارگادیک، در کنار تلاشهای صورت گرفته برای اثبات [[فرضیه ارگادیک]] از [[فیزیک آماری]] بوجود آمده است.
نظریه ارگودیک مربوط به شاخهای از علم ریاضیات است که سیستمهای پویا با یک معیار ثابت ومسائل مربوط به آنها را بررسی میکند. این نظریه در ابتدا توسط مسائل مربوط به فیزیک آماری توسعه یافت. یک جنبه اصلی نظریه ارگودیک مربوط به رفتار سیستمهای پویا در بلند مدت است. اولین نتایجی که در این زمینه به دست آمد مربوط به نظریه بازگشتی Poincaré است. تئوری که ادعا دارد اغلب نقاط در هر زیر مجموعهای از فضای حالت سرانجام دوباره به مجموعه
== تعریف ارگادیک ==
''متوسط زمان'' تابع [[خوشرفتار]] ''f'' را در نظر بگیرید. این به عنوان متوسط بر روی تناوب ''T'' با شروع از نقطهٔ آغاز ''x'' تعریف میشود.
سطر ۱۶ ⟵ ۱۵:
در کل متوسط زمانی و متوسط فضایی ممکن است با هم متفاوت باشند، اما اگر انتقال ما ارگادیک و اندازهنگهدار باشد، آنگاه تقریباً در همهجا میانگین زمانی برابر میانگین فضا خواهد بود.
این منجر به قضیهٔ ارگادیک است.
== ریشه لغت ارگودیک ==
کلمه ارگودیک از کلمه یونانی έργον and όδος مشتق شده است. Boltzmann زمانی که روی یک مسئله در زمینه مکانیزمهای آماری کار میکرد این کلمه را انتخاب کرد
== تعریف نمادین ==
فرض کنید که <math>(X,\; \Sigma ,\; \mu\,)</math> یک فضای احتمال و<math>T:X \to X</math> یک تبدیل قابل اندازهگیری است در این صورت میگوییم
* for every <math> E \in \Sigma</math> with <math>T^{-1}(E)=E\,</math> either <math>\mu(E)=0\,</math> or <math>\mu(E)=1\,</math>.
* for every <math> E \in \Sigma</math> with <math>\mu(T^{-*1}(E)\bigtriangleup E)=0</math> either <math>\mu(E)=0\,</math> or <math>\mu(E)=1\,</math> (where <math>\bigtriangleup</math> denotes the [[symmetric difference]]).
* for every <math> E \in \Sigma</math> with positive measure we have <math>\mu(\cup_{n=1}^\infty T^{-n}E) = 1</math>.
* for every two sets ''E'' and ''H'' of positive
== مثالها ==
* یک دوران اصم دایره '''R'''/'''Z''' با ''T'': ''x'' → ''x''+''θ'' که
* اگر فرض کنیم که''G'' یک گروه فشرده آبلی باشد ''μ'' معیار نرمالیزه شده Haar باشد و''T'' <sup>*</sup>
* ergodicity
== نظریههای ارگودیک ==
خط ۳۹:
* اگر <math>\mu(X)</math> محدود وغیر صفر باشد در این صورت میتوانیم میانگین مکانی از ''f'' را به صورت زیر تعریف کنیم:
:<math> \bar f =\frac 1{\mu(X)} \int f\,d\mu. \quad\text{ (For a probability space,} \mu(X)=1.) </math>
* در کل میانگین زمانی ومکانی ممکن است متفاوت باشند. اما اگر تبدیل
حالت قوی نظریه ارگودیک
:<math>\hat f \in L^1(\mu). \, </math>
* علاوه برآن <math>\hat f</math> نسبت به ''T'' نا متغیر است
:<math>\hat f \circ T= \hat f \, </math>
:<math>\int \hat f\, d\mu = \int f\, d\mu.</math>
* اگر ''T'' به صورت
<math>\bar f = \hat f \, </math>
خط ۵۲:
با ادغام اولین به آخرین ادعا وبا فرض اینکه <math>\mu(X)</math> محدود وغیر صفر است داریم:
:<math>\lim_{n\rightarrow\infty}\; \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f\left(T^k x\right) = \frac 1{\mu(X)}\int f\,d\mu </math>
* بنابراین
== قاعده سازی احتمالی:قضیه Birkhoff–Khinchin ==<!-- This
قضیه Birkhoff–Khinchin میگوید با فرض اینکه <math>f</math> قابل اندازهگیری باشد <math>E(|f|)<+\infty</math> و<math>T</math> یک نگاشت حفظ کننده اندازهگیری باشد سپس داشته باشیم:
:<math>\lim_{n\rightarrow\infty}\;
خط ۶۰:
به طوری که <math>E(f|\mathcal{C})</math> میانگین شرطی <math>\sigma</math> جبری داده شده <math>\mathcal{C}</math> از مجموعه نا متغیر<math>T</math> میباشد.
نتیجه فرعی این است که اگر <math>T</math> به صورت
:<math>\lim_{n\rightarrow\infty}\; \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f\left(T^k x\right)=E(f)\text{ a.s.}</math>
== حد متوسط قضیه ارگودیک ==
صورت دیگر قضیه
فرض کنید که <math>U</math> یک اپراتورواحد
فرض کنید که <math>P</math> یک تصویر متعامد روی
<math>\{\psi \in H| U\psi=\psi\} = \operatorname{Ker}(I-U)</math> باشد در این صورت برای هر <math>x \in H</math> داریم:
:<math> \lim_{N \to \infty} {1 \over N} \sum_{n=0}^{N-1} U^{n} x = P x,</math>
* به طوریکه حد نسبت به اندازه روی
:<math>\frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1}U^n</math>
به عبارت دیگر توالی میانگینها نسبت به
* بنابراین قضیه ارگودیک عملکرد میانگین تابع ''f'' را در طول یک مقیاس زمانی به اندازه کافی بزرگ ارزیابی میکند که از طریق جزء متعامد از ''f'' که نسبت به زمان نامتغیر است تقریب زده شده است.
صورت دیگر قضیه حد متوسط
:<math>\frac{1}{T}\int_0^T U_t\,dt</math>
که همچنان که ''T''
تذ کر: قضیه حد متوسط ارگودیک را میتوان از طریق ملاحظه مواردی که تعدادی مجموعه با طول واحد به عنوان تبدیلات واحد روی صفحه چند جزیی هستند در نظر گرفت. اگر ما یک تعداد ترکیب منفرد از طول واحد را
== همگرایی میانگینهای ارگودیک در مقیاسهای <math>L^p</math> ==
فرض کنید که <math>(X,\Sigma,\mu)</math> به عنوان فضای احتمالی بالا با تبدیل حفظ کننوه اندازهگیری ''T'' باشد وفرض کنید که <math>1\leq p\leq \infty</math>. میانگین شرطی نسبت به مجموع جبری σ، <math>\Sigma_T</math> از ''T'' مجموعه نا متغیر یک تصویرگر خطی<math>E_T</math>
اغلب این درست است که داشته باشیم: <math>1<p\leq \infty:</math> قضیه حالتهای همگرایی تسلطی ارگودیک مربوط به Wiener–Yoshida–Kakutani بیان میکند که میانگینهای
سرانجام اگر فرض شود که
== زمان اقامت ==
فرض کنید که <math>(X,\Sigma,\mu)</math> یک فضای اندازهگیری باشد به طوریکه <math>\mu(X)</math> محدود وغیر صفر است. مدت زمانی که در یک مجموعه قابل اندازهگیری ''A'' سپری میشود زمان اقامت نامیده میشود. یکی از نتیجههایی که بلافاصله از قضیه ارگودیک
:<math> \frac{\mu(A)}{\mu(X)} = \frac 1{\mu(X)}\int \chi_A\, d\mu
برای تمام ''x''ها به جز برای یک مجموعه با اندازه صفر به طوریکه <math>\chi_A</math> شاخص تابعی از ''A'' میباشد.
فرض کنید که زمانهای پیش آمد از یک مجموعه قابل اندازهگیری
''k''<sub>۱</sub>، ''k''<sub>۲</sub>، ''k''<sub>۳</sub>،... ،
از زمانهای ''k'' به طوریکه ''T''<sup>''k''</sup>(''x'')
تناوب میان زمانهای رخداد متوالی ''R''<sub>''i''</sub> = ''k''<sub>''i''</sub> − ''k''<sub>''i''−۱</sub>
زمانهای بازگشتی نامیده میشود. یکی از نتایج دیگری که از قضیه ارگودیک گرفته میشود این است که متوسط زمان بازگشت از
''k''<sub>۰</sub> = ۰.
:<math> \frac{R_1 + \cdots + R_n}{n} \rightarrow \frac{\mu(X)}{\mu(A)}
\quad\mbox{(almost surely)}</math>
* هر چه
== زنجیر ههای Markov ==
سطر ۱۰۷ ⟵ ۱۰۶:
== تجزیه ارگودیک ==
متعقابا اینکه ergodicity
==
{{
== Historical references ==
سطر ۱۳۲ ⟵ ۱۳۱:
* Joseph M. Rosenblatt and Máté Weirdl, ''Pointwise ارگودیک theorems via harmonic analysis'', (1993) appearing in ''Ergodic Theory and its Connections with Harmonic Analysis, Proceedings of the 1993 Alexandria Conference'', (1995) Karl E. Petersen and Ibrahim A. Salama, ''eds. '', Cambridge University Press, Cambridge, ISBN 0-521-45999-0. ''(An extensive survey of the ارگودیک properties of generalizations of the [[equidistribution theorem]] of [[shift map]]s on the [[unit interval]]. Focuses on methods developed by Bourgain.)''
* [[Albert Shiryaev|A.N. Shiryaev]], ''Probability'', 2nd ed. , Springer 1996, Sec. V.3. ISBN 0-387-94549-0.
== جستارهای وابسته ==
* [[فرایند ارگادیک]]
|