ویکی‌پدیا

نظریه ارگودیک: تفاوت میان نسخه‌ها

نمایش تاریخچه به صورت تعاملی
→ تفاوت قدیمی‌ترتفاوت جدیدتر ←
محتوای حذف‌شده محتوای افزوده‌شده
دیداریویکی‌متن
بدون خلاصۀ ویرایش
خط ۱:
در [[ریاضیات]]، به یک تبدیل اندازه‌نگهدار ''T'' در [[فضای احتمال]]، ارگودیک گفته می‌شود اگر تمام مجموعه‌های اندازه‌پذیر ثابت تحت ''T'' دارای اندازه‌های ۰ یا ۱ باشند. یک عبارت قدیمی‌تر برای این خاصیت [[تراگذری]] متریک بوده است. '''نظریهٔ ارگادیک''' و مطالعات تبدیلات ارگادیک، در کنار تلاشهای صورت گرفته برای اثبات [[فرضیه ارگادیک]] از [[فیزیک آماری]] بوجود آمده است.
 
نظریه ارگودیک مربوط به شاخه‌ای از علم ریاضیات است که سیستم‌های پویا با یک معیار ثابت ومسائل مربوط به آنها را بررسی می‌کند. این نظریه در ابتدا توسط مسائل مربوط به فیزیک آماری توسعه یافت. یک جنبه اصلی نظریه ارگودیک مربوط به رفتار سیستم‌های پویا در بلند مدت است. اولین نتایجی که در این زمینه به دست آمد مربوط به نظریه بازگشتی Poincaré است. تئوری که ادعا دارد اغلب نقاط در هر زیر مجموعه‌ای از فضای حالت سرانجام دوباره به مجموعه باز می‌یابدبازمی‌یابد. بیشتر اطلاعات دقیق از طریق نظریات متنوع ارگودیک فراهم شده است. این نظریات بیان می‌کنند که تحت شرایط خاص میانگین زمانی یک تابع در طول مسیرهایی که تقریباتقریباً در همه جا وجود دارند و مر بوط به میانگین فضایی است. از مهم ترینمهم‌ترین مثالهای مربوط به نظریه ارگودیک به Birkhoff و von Neumann برای انواع خاصی از سیستم‌های ارگودیک، میانگین زمانی تقریباتقریباً برای تمام نقاط ابتدایی یکی می‌باشد: از لحاظ آماری می‌توان گفت سیستمی که شامل یک روند بلند مدت است حالات ابتدایی اش را فراموش می‌کند. مسئله مربوط به اندازه‌گیری در طبقه‌بندی کردن سیستم‌ها بخش مهمی از نظریه ارگودیک می‌باشد. نقش برجسته نظریه ارگودیک وکاربرد آن در فرایندهای تصادفی از طریق مفاهیم متنوعی از واحد اندازه‌گیری ترمودینامیک در سیستم‌های پویا ارائه می‌شود. مفاهیم ergodicity و فرضیات ارگودیک از مفاهیم اصلی کاربردی نظریه ارگودیک هستند. ایده تحت بررسی این است که در سیستم‌های خاص میانگین زمانی به طور متوسط در طول تمام فضا یکسان می‌باشد. کاربرد نظریه ارگودیک در دیگر شاخه‌های علوم ریاضی معمولامعمولاً سیستم‌هایی با ویژگی‌های خاص ایجاد کرده است.
 
== تعریف ارگادیک ==
 
''متوسط زمان'' تابع [[خوش‌رفتار]] ''f'' را در نظر بگیرید. این به عنوان متوسط بر روی تناوب ''T'' با شروع از نقطهٔ آغاز ''x'' تعریف می‌شود.
 
سطر ۱۶ ⟵ ۱۵:
در کل متوسط زمانی و متوسط فضایی ممکن است با هم متفاوت باشند، اما اگر انتقال ما ارگادیک و اندازه‌نگهدار باشد، آنگاه تقریباً در همه‌جا میانگین زمانی برابر میانگین فضا خواهد بود.
این منجر به قضیهٔ ارگادیک است.
 
== ریشه لغت ارگودیک ==
کلمه ارگودیک از کلمه یونانی έργον and όδος مشتق شده است. Boltzmann زمانی که روی یک مسئله در زمینه مکانیزمهای آماری کار می‌کرد این کلمه را انتخاب کرد..<ref>{{Harvard citations|last = Walters|year = 1982|loc = §0.1, p. 2|nb = yes}}</ref>
 
== تعریف نمادین ==
فرض کنید که <math>(X,\; \Sigma ,\; \mu\,)</math> یک فضای احتمال و<math>T:X \to X</math> یک تبدیل قابل اندازه‌گیری است در این صورت می‌گوییم ''T''نسبت به<math>\mu</math> ارگودیک است (یا به طور جایگزین <math>\mu</math> نسبت به ''T'' ارگودیک می‌باشد) اگر یکی از تعریفهای معادل زیر برقرار باشد::<ref>{{Harvard citations|last = Walters|year = 1982|loc = §1.5, p. 27|nb = yes}}</ref>
* for every <math> E \in \Sigma</math> with <math>T^{-1}(E)=E\,</math> either <math>\mu(E)=0\,</math> or <math>\mu(E)=1\,</math>.
* for every <math> E \in \Sigma</math> with <math>\mu(T^{-*1}(E)\bigtriangleup E)=0</math> either <math>\mu(E)=0\,</math> or <math>\mu(E)=1\,</math> (where <math>\bigtriangleup</math> denotes the [[symmetric difference]]).
* for every <math> E \in \Sigma</math> with positive measure we have <math>\mu(\cup_{n=1}^\infty T^{-n}E) = 1</math>.
* for every two sets ''E'' and ''H'' of positive measure،measure, there exists an ''n'' > ۰ such that <math>\mu(T^{-n}E\cap H)>0</math>.
 
== مثالها ==
* یک دوران اصم دایره '''R'''/'''Z''' با ''T'': ''x'' → ''x''+''θ'' که ''θ''اصم است ارگودیک می‌باشد. در حالیکه اگر ''θ'' = ''p''/''q'' گویا باشددر این صورت ''T'' متناوب با دوره تناوب ''q'' است ونمی تواند ارگودیک باشد.
* اگر فرض کنیم که''G'' یک گروه فشرده آبلی باشد ''μ'' معیار نرمالیزه شده Haar باشد و''T'' <sup>*</sup> یک گروه خود سان از ''G''<sup>*</sup> باشد. ''T'' خودسان ارگودیک است اگر وفقط اگر معادله''T''<sup>*</sup>)<sup>''n''</sup>(''χ'')=''χ'')در صورتی برقرار باشد که ''n'' = ۰ یا''χ'' ویژگی بدیهی ''G'' باشد. اگر ''G'' یک طبق n بعدی باشدوخودسان ''T'' با یک ماتریس صحیح ''A'' نشان داده شود در این صورت ''T'' یک ارگودیک است هیچ کدامهیچ‌کدام از مقادیر ویژه ''A'' یک ریشه واحد نباشد.
* ergodicity یک سیتم پویای پیوسته به این معنی است که خطوط مسیر در اطراف فضای حالت پخش شده‌اند. یک سیتم با یک فضای حالت فشرده که دارای اولین انتگرال ثابت نیست نمی‌تواند ارگودیک باشد.باشد؛ که این در سیستم هاملتیونی که اولین انتگرال ''I'' به طور تابعی مستقل از از تابع هاملتیون ''H'' ومجموعه فشرده{''X'' = {(''p''،, ''q''): ''H''(''p''،, ''q'')=E''با یک انرژی ثابت کاربرد دارد.
 
== نظریه‌های ارگودیک ==
خط ۳۹:
* اگر <math>\mu(X)</math> محدود وغیر صفر باشد در این صورت می‌توانیم میانگین مکانی از ''f'' را به صورت زیر تعریف کنیم:
:<math> \bar f =\frac 1{\mu(X)} \int f\,d\mu. \quad\text{ (For a probability space,} \mu(X)=1.) </math>
* در کل میانگین زمانی ومکانی ممکن است متفاوت باشند. اما اگر تبدیل ارگودیک باشد واندازه گیری نا متغیر باشد در این صورت تقریباتقریباً در همه جا میانگین زمانی با میانگین مکانی معادل است. این خلاصه‌ای از نظریه ارگودیک از دیدگاه [[جورج دیوید بیرکهوف]] است. تئوری توزیع همسان مورد ویژه‌ای از نظریه ارگودیک است که با توزیع‌های احتمال روی یک بازه واحد بررسی می‌شود.
حالت قوی نظریه ارگودیک که محدود به تعریفی از میانگین زمانی ''f'' می‌باشد وتقریبا برای هر ''x'' وتابع حدی انتگرال پذیر <math>\hat f</math> وجود دارد:
:<math>\hat f \in L^1(\mu). \, </math>
* علاوه برآن <math>\hat f</math> نسبت به ''T'' نا متغیر است یعنی می‌توان گفت که:
:<math>\hat f \circ T= \hat f \, </math> تقریباتقریباً در همه جا برقرار است واگر <math>\mu(X)</math> محدود باشد در این صورت نرمال سازی نیز به یکسان است:
 
:<math>\int \hat f\, d\mu = \int f\, d\mu.</math>
* اگر ''T'' به صورت ارگودیک باشد در این صورت <math>\hat f</math> باید ثابت باشد وبنابراینداریم:
 
<math>\bar f = \hat f \, </math>
خط ۵۲:
با ادغام اولین به آخرین ادعا وبا فرض اینکه <math>\mu(X)</math> محدود وغیر صفر است داریم:
:<math>\lim_{n\rightarrow\infty}\; \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f\left(T^k x\right) = \frac 1{\mu(X)}\int f\,d\mu </math>
* بنابراین تقریباتقریباً برای تمام ''x''‌ها به جز آنهایی که مجموعه‌ای با اندازه صفر هستند قطعاقطعاً برای یک تبدیل ارگودیک میانگین زمانی تقریباتقریباً معادل میانگین مکانی می‌باشد.
 
== قاعده سازی احتمالی:قضیه Birkhoff–Khinchin ==<!-- This section،section, with the title «"Probabilistic formulation: Birkhoff–Khinchin theorem»" (with an en-dash،dash, not a hyphen)،, is linked from six redirect pages. -->
قضیه Birkhoff–Khinchin می‌گوید با فرض اینکه <math>f</math> قابل اندازه‌گیری باشد <math>E(|f|)<+\infty</math> و<math>T</math> یک نگاشت حفظ کننده اندازه‌گیری باشد سپس داشته باشیم:
:<math>\lim_{n\rightarrow\infty}\;
خط ۶۰:
 
به طوری که <math>E(f|\mathcal{C})</math> میانگین شرطی <math>\sigma</math> جبری داده شده <math>\mathcal{C}</math> از مجموعه نا متغیر<math>T</math> می‌باشد.
نتیجه فرعی این است که اگر <math>T</math> به صورت ارگودیک باشد در این صورت<math>\mathcal{C}</math> یک <math>\mathcal{C}</math> جبری بدیهی است بنابراین:
:<math>\lim_{n\rightarrow\infty}\; \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f\left(T^k x\right)=E(f)\text{ a.s.}</math>
 
== حد متوسط قضیه ارگودیک ==
صورت دیگر قضیه ارگودیک مر بوط به حد متوسط قضیه ارگودیک است که توسط Neumann''' von ''' ارائه شد ه ودر فضای Hilbert برقرار است.<ref>I: Functional Analysis: Volume 1 by Michael Reed, Barry Simon,Academic Press; REV edition (1980)</ref>
فرض کنید که <math>U</math> یک اپراتورواحد روی فضای Hilbert یعنی <math>H</math> باشد یا به طور کلی تر یک اپراتور خطی هم اندازه باشد. این بدان معنی است که لازم نیست اپراتور خطی رابطه <math>\|Ux\|=\|x\|</math> for all <math>x \in H</math> را برقرار کند یا به طور معادل <math>U^*U=I,</math> را ارضاء کند واما لازم نیست که <math>UU^*=I</math> باشد.
فرض کنید که <math>P</math> یک تصویر متعامد روی
<math>\{\psi \in H| U\psi=\psi\} = \operatorname{Ker}(I-U)</math> باشد در این صورت برای هر <math>x \in H</math> داریم:
:<math> \lim_{N \to \infty} {1 \over N} \sum_{n=0}^{N-1} U^{n} x = P x,</math>
* به طوریکه حد نسبت به اندازه روی ''H'' است.
:<math>\frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1}U^n</math>
به عبارت دیگر توالی میانگینها نسبت به ''P'' در توپولوژی اپراتور قوی همگرا می‌شود. این قضیه خاص مواردی است که که در آن فضای Hilbert یعنی ''H'' شامل ''L''<sup>۲</sup> تابع روی فضای اندازه‌گیری است برای یک اپراتور و''U'' به صورت''L''<sup>۲</sup> تابع روی فضای اندازه‌گیری است برای یک اپراتور و''U'' به صورت:<math>Uf(x) = f(Tx) \, </math> می‌باشد که طوریکه ''T'' یک حفظ کننده اندازه‌گیری درونی ''X'' می‌باشد. اگر چه در عمل نماینده‌ای از یک مرحله زمانی در یک سیستم پویای گسسته می‌باشد.<ref>{{harv|Walters|1982}}</ref>
 
* بنابراین قضیه ارگودیک عملکرد میانگین تابع ''f'' را در طول یک مقیاس زمانی به اندازه کافی بزرگ ارزیابی می‌کند که از طریق جزء متعامد از ''f'' که نسبت به زمان نامتغیر است تقریب زده شده است.
صورت دیگر قضیه حد متوسط ارگودیک این است که فرض کنیم ''U''<sub>''t''</sub> یک گروه یک پارامتری اکیدااکیداً پیوسته از اپراتور واحد روی ''H'' باشد در این صورت اپراتور به صورت زیر است:
:<math>\frac{1}{T}\int_0^T U_t\,dt</math>
 
که همچنان که ''T''&nbsp; →&nbsp; ∞ آن نیز به توپولوژی اپراتور قوی همگرا می‌شود. در حقیقت این نتایج به مواردی از پیوستگی اکید نیم گروه یک پارامتری از اپراتورهای متمایل به فضای باز تابنده تعمیم داده می‌شود.
تذ کر: قضیه حد متوسط ارگودیک را می‌توان از طریق ملاحظه مواردی که تعدادی مجموعه با طول واحد به عنوان تبدیلات واحد روی صفحه چند جزیی هستند در نظر گرفت. اگر ما یک تعداد ترکیب منفرد از طول واحد را بر گزینیمبرگزینیم (چیزی که به عنوان <math>U</math> آن را در نظر می‌گیریم) مشهود است که این ترکیب با توانی که دارد دایره را سیر می‌کند. از آنجایی که دایره پیرامون ۰ متقارن است منطقی است که متوسط توان <math>U</math> نیز به صفر همگرا خواهد بود. همچنین ۰ تنها نقطه ثابت <math>U</math> است وبنابراین تصویر آن روی فضایی از نقاط ثابت باید به صورت یک اپراتور صفر باشد که مطبق با حدی است که قبلاقبلاً ذکر کردیم.
 
== همگرایی میانگین‌های ارگودیک در مقیاس‌های <math>L^p</math> ==
فرض کنید که <math>(X,\Sigma,\mu)</math> به عنوان فضای احتمالی بالا با تبدیل حفظ کننوه اندازه‌گیری ''T'' باشد وفرض کنید که <math>1\leq p\leq \infty</math>. میانگین شرطی نسبت به مجموع جبری σ، <math>\Sigma_T</math> از ''T'' مجموعه نا متغیر یک تصویرگر خطی<math>E_T</math> با اندازه ۱ از فضای Banach <math>L^p(X,\Sigma,\mu)</math> به زیر فضای بسته <math>L^p(X,\Sigma,\mu)</math> است.است؛ که بعدابعداً ممکن است به عنوان فضایی از همه T هایTهای نا متغیر توابع <math>L^p</math> روی ''X'' طبقه‌بندی شود. همچنین میانگین‌های ارگودیک به عنوان اپراتورهای خطی روی <math>L^p(X,\Sigma,\mu)</math> دارای یک اپراتور با اندازه واحد می‌باشد. به عنوان یک تنیجه گیری ساده از قضیه Birkhoff–Khinchin همگرایی به تصویر گر <math>E_T</math> در توپولوژی اپراتور قوی <math>L^p</math> است اگر <math>1\leq p<\infty,</math> ودر توپولوژی اپراتور ضعیف است اگر <math>p=\infty</math> باشد.
 
اغلب این درست است که داشته باشیم: <math>1<p\leq \infty:</math> قضیه حالت‌های همگرایی تسلطی ارگودیک مربوط به Wiener–Yoshida–Kakutani بیان می‌کند که میانگین‌های ارگودیک از <math>f\in L^p</math> در<math>L^p</math> مسلط شده است. به هر حال اگر <math>f\in L^1</math> باشد ممکن است میانگین‌های ارگودیک از <math>L^1</math> مسلط نشده باشد.
 
سرانجام اگر فرض شود که ''f'' در طبقه Zygmund است یعنی <math>|f|\log^+|f|</math> انتگرال پذیر باشد در این صورت حد متوسط ارگودیک حتی در <math>L^1</math> تسلط یافته است.
 
== زمان اقامت ==
فرض کنید که <math>(X,\Sigma,\mu)</math> یک فضای اندازه‌گیری باشد به طوریکه <math>\mu(X)</math> محدود وغیر صفر است. مدت زمانی که در یک مجموعه قابل اندازه‌گیری ''A'' سپری می‌شود زمان اقامت نامیده می‌شود. یکی از نتیجه‌هایی که بلافاصله از قضیه ارگودیک به دست می‌آید این است که در یک سیستم اندازه نسبی ''A'' معادل با متوسط زمان اقامت است:
:<math> \frac{\mu(A)}{\mu(X)} = \frac 1{\mu(X)}\int \chi_A\, d\mu
= \lim_{n\rightarrow\infty}\; \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \chi_A\left(T^k x\right) </math>
برای تمام ''x''‌ها به جز برای یک مجموعه با اندازه صفر به طوریکه <math>\chi_A</math> شاخص تابعی از ''A'' می‌باشد.
فرض کنید که زمان‌های پیش آمد از یک مجموعه قابل اندازه‌گیری ''A'' به عنوان مجموعه‌ای از
''k''<sub>۱</sub>، ''k''<sub>۲</sub>، ''k''<sub>۳</sub>،... ،
از زمان‌های ''k'' به طوریکه ''T''<sup>''k''</sup>(''x'') که در ''A'' وجود دارد به تر تیب افزایشی دسته بندیدسته‌بندی شده باشند.
تناوب میان زمان‌های رخداد متوالی ''R''<sub>''i''</sub> = ''k''<sub>''i''</sub> − ''k''<sub>''i''−۱</sub>
زمان‌های بازگشتی نامیده می‌شود. یکی از نتایج دیگری که از قضیه ارگودیک گرفته می‌شود این است که متوسط زمان بازگشت از ''A'' به طور معکوس متناسب است با اندازه ''A''. فرض می‌کنیم که که نقطه ابتدایی ''x'' در ''A'' است بنابر این:
''k''<sub>۰</sub> = ۰.
:<math> \frac{R_1 + \cdots + R_n}{n} \rightarrow \frac{\mu(X)}{\mu(A)}
\quad\mbox{(almost surely)}</math>
* هر چه ''A'' کوتاه ترکوتاه‌تر باشد در این صورت مدت زمان بازگشت به آن طولانی ترطولانی‌تر است.
 
== زنجیر ه‌های Markov ==
سطر ۱۰۷ ⟵ ۱۰۶:
 
== تجزیه ارگودیک ==
متعقابا اینکه ergodicity یک سیستم پویا یک ویژگی خاص تحویل نا پذیر است وابسته به مفهوم نمایش غیر قابلغیرقابل تقلیل جبری وعدد اول در ریاضیات است. یک تبدیل حفظ کننده اندازه‌گیری یا جریانی روی فضای ergodicity مطابق با یک تجزیه متعارف به اجزای ارگودیک آن است یعنی به هر کدام از اجزایی که ارگودیک هستند.
 
== Referencesمنابع ==
{{reflistپانویس}}
 
== Historical references ==
سطر ۱۳۲ ⟵ ۱۳۱:
* Joseph M. Rosenblatt and Máté Weirdl, ''Pointwise ارگودیک theorems via harmonic analysis'', (1993) appearing in ''Ergodic Theory and its Connections with Harmonic Analysis, Proceedings of the 1993 Alexandria Conference'', (1995) Karl E. Petersen and Ibrahim A. Salama, ''eds. '', Cambridge University Press, Cambridge, ISBN 0-521-45999-0. ''(An extensive survey of the ارگودیک properties of generalizations of the [[equidistribution theorem]] of [[shift map]]s on the [[unit interval]]. Focuses on methods developed by Bourgain.)''
* [[Albert Shiryaev|A.N. Shiryaev]], ''Probability'', 2nd ed. , Springer 1996, Sec. V.3. ISBN 0-387-94549-0.
 
== جستارهای وابسته ==
* [[فرایند ارگادیک]]
برگرفته از «https://fa.wikipedia.org/wiki/نظریه_ارگودیک»