نظریه مجموعه‌ها: تفاوت میان نسخه‌ها

مطالعه جدید بر روی نظریه مجموعه‌ها توسط [[گئورگ کانتور]] و [[ریچارد ددکیند]] در دهه ۷۰ قرن ۱۸ میلادی شروع شد. بعد از کشف [[تناقض‌های نظریه مجموعه ها|تناقض‌هاتناقض‌های]]ی [[نظریه طبیعی مجموعه‌ها]]، [[دستگاه‌های بنداشتی]] بی شماری در اوایل قرن ۲۰ مطرح شدند که معروف‌ترین آن‌ها [[اصل موضوعه زرملو-فرانکل]] و [[اصل موضوعه]] انتخاب هستند.

یک مجموعه هنگامی [[خالص]] است که همه اعضایش مجموعه باشند، و همهٔ اعضای اعضایش مجموعه باشند و به همین ترتیب… برای مثال، مجموعه {{math| {{}} }} که تنها مجموعه تهی را دربردارد یک مجموعه خالص ناتهی است. در نظریه مدرن مجموعه‌ها، معمول است که توجه را به '''[[جهان ون نویمان]]''' مجموعه‌های خالص معطوف کرد، و تعداد زیادی از سیستم‌های نظریه بنداشتی مجموعه‌ها طراحی شده‌اند که تنها مجموعه‌های خالص را (axiomatize) کنند. این محدودیت از نظر فنی امتیازهای زیادی به همراه دارد و به کلیت خیلی کم لطمه می‌زند، زیرا به طرز ویژه‌ای همه مفاهیم ریاضی می‌توانند با استفاده از مجموعه‌های خالص باز سازی شوند. مجموعه‌ها در جهان ون نویمان با توجه به اینکه چقدر عمیق اعضایشان، اعضای اعضایشان و… در هم قرار گرفته‌اند در یک [[سلسله مراتب انباشته]] مرتب می‌شوند. هر مجموعه از این سلسله مراتب با یک عدد ترتیبی α مشخص می‌گردد (با استفاده از [[استقرای ترامتناهی]])، که به عنوان '''مرتبه''' آن شناخته می‌شود. مرتبه یک مجموعه خالص X به عنوان [[کوچکترین کران بالا]]ی همه [[جانشین]]‌های مرتبه‌های اعضای X تعریف می‌شود. برای مثال، مجموعه تهی مرتبه ۰ خوانده می‌شود، درحالی که مجموعه {{math| <nowiki>{{}}</nowiki> }} که تنها شامل مجموعه تهی است مرتبه ۱ خوانده می‌شود. برای هر عدد ترتیبی α، مجموعه ''V''_α به عنوان مجموعه‌ای تعریف می‌شود که شامل همه مجموعه‌های خالص با مرتبه کمتر از α است. کل جهان ون نویمان با ''V'' نشان داده می‌شود.

* ''تنها مجموعه''‌هاها تشکیل می‌شود. این رایج‌ترین نظریه بنداشتی مجموعه‌ها، '''[[نظریه زرملو-فرانکل (ZFC)]]''' را شامل می‌شود، که خود شامل [[اصل انتخاب]] است. قطعه‌های ZFC شامل: