قضیه: تفاوت میان نسخه‌ها

بعضی قضایا بدیهی هستند به این معنا که به طور واضحی از تعاریف، اصول موضوع و سایر قضایا نتیجه‌گیری شده‌اند و نکته شگفت‌آوری را شامل نمی‌شوند. از سویی دیگر بعضی از قضایا عمیق اند زیرا ممکن است اثبات آن‌ها طولانی یا دشوار باشد و یا این که شامل زمینه‌های مختلف ریاضیات می‌باشد و ارتباط شگفت‌آوری را بین زمینه‌های متمایز ریاضیات را مشخص کند. همچنین یک قضیه ساده در عین حال می‌تواند عمیق و پیچیده باشد. قضیه آخر فرما مثال خوبی برای این گونه قضایاست؛ و بسیاری از نمونه‌های دیگر از قضایای عمیق ساده در نظریه اعداد و ترکیبیات وجود دارد.{{مدرک}}

قضایا در ریاضی و نظریات در علوم اساساً از نظر معرفت‌شناسی متفاوت هستند. یک نظریه علمی نمی‌تواند اثبات شود؛ صفت کلیدی آن ابطال است؛ یعنی پیش بینی‌هایی دربارهٔ جهان طبیعی می‌کند که با آزمایش‌ها قابل آزمایش است. هرگونه عدم توافق بین پیش بینی و آزمایش، نادرستی نظریه علمی و یا حداقل محدود بودن دقت و دامنه اعتبار آن را نشان می‌دهد. قضایای ریاضی، به عبارتی دیگر، به طور محض چکیده‌ای از گزاره‌های صوری هستند: اثبات یک قضیه نمی‌تواند شامل آزمایش و سایر سندهای تجربی به همان صورت که برای اثبات نظریه‌های علمی به کار می‌رود، باشد.{{مدرک}}

در یک قضیه معمول آن است که بوسیله تعاریفی، مفهوم دقیق شرایط و اصطلاحات استفاده شده در قضیه را شرح می‌دهند، مقدم بشوند. همچنین معمول است که یک قضیه بوسیله تعداد گزاره‌ها یا لم‌ها که در اثبات استفاده شده‌اند، مقدم بشوند. هر چند، لم‌ها معمولاً در اثبات قضیه جا داده می‌شوند، چه همراه با اثبات‌های تودرتو و یا چه همراه با اثبات‌های ارائه شده بعد از اثبات اصلی قضیه.{{مدرک}}

منطق، به ویژه در زمینه اثبات قضیه، قضایا را همانند جملات و گزاره‌های یک زبان رسمی به حساب می‌آورد (که به آن فرمول گفته می‌شود). گزاره‌های یک زبان رشته‌های نمادها هستند و ممکن است به طور گسترده به حرف‌های پوچ و فرمول‌های خوش فرم تقسیم شوند. مجموعه‌ای از قوانین قیاس، که قانون تبدیل و دگرگونی و یا قانون استنتاج نیز گفته می‌شود، باید فراهم گردد. این قوانین دقیقاً بیان می‌کند که چه هنگام یک فرمول می‌تواند از مجموعه‌ای از فرضیات قبلی مشتق شود. مجموعه فرمول‌های خوش فرم ممکن است به طور گسترده به قضایا و غیرقضایا تقسیم شوند. هر چند، با توجه به هافستادتر، یک سیستم صوری، اغلب به طور خیلی ساده فرمول‌های خوش فرم را مانند قضایا تعریف می‌کند.