قضایای ناتمامیت گودل: تفاوت میان نسخه‌ها

در این جا، «نظریه» به معنای تعدادی قواعد استنتاج، تعدادی علائم و مجموعه‌ای نامتناهی از [[گزاره|گزاره‌ها]] است، که تعدادی متناهی از این گزاره‌ها بدون اثبات پذیرفته می‌شوند(که [[اصل موضوع|اصول موضوع]] خوانده می‌شوند)، و برخی دیگر از گزاره‌ها از اصول موضوع به دست می‌آیند؛ به این گزاره‌ها که با کمک قواعد استنتاج از اصول موضوع به دست می‌آیند [[قضیه]] می‌گوییم. «[[اثبات پذیر]] بودن در نظریه» یعنی «اشتقاق‌پذیر بودن از اصول موضوع نظریه به کمک قواعد استنتاج نظریه». یک نظریه «[[سازگار]]» است، در صورتی که هیچ‌گاه یک [[تناقض]] را اثبات نکند. بنا بر قضیه ناتمامیت اول گودل، هیچ نظریه اصل موضوعی که حداقل قضایای اساسی حساب را بتواند اثبات کند وجود ندارد که همه قضایا را اثبات یا رد کند. به عبارتی در هر نظام اصل موضوعی ریاضی جملاتی تصمیم ناپذیر وجود دارند. طبق [[منطق کلاسیک]] و [[منطق ارسطو|منطق ارسطویی]] هر گزاره‌ای یا صادق است و یا کاذب. قضیه ناتمامیت اول می‌گوید که نظام‌های اصل موضوعی که قابلیت نشان دادن [[تابع بازگشتی|توابع بازگشتی]] را داشته باشند نمی‌توانند چنین تصمیمی درباره گزاره‌های حساب بگیرند. یعنی جملاتی در این نظام‌ها وجود دارند که نه اثبات‌پذیرند و نه انکارپذیر.