معادلات کوشی-ریمان: تفاوت میان نسخه‌ها
محتوای حذف‌شده محتوای افزوده‌شده
بدون منبع |
جز ربات: اصلاح نیم فاصله مجازی |
||
خط ۱۰:
\partial x } . </math>
هستند، صدق کنند.
با یک فرمول بندی مختلط طبیعی، بینش هندسی بهتری بوجود
:<math>{ i { \partial f \over \partial x } } = { \partial f \over
\partial y } . </math>
با توجه به معالات، اگر <math>u</math> و <math>v</math> دوبار مشتق پذیر باشند آنگاه مادامی که در [[معادلات لاپلاس]] صدق
== مثال ==
فرض کنید مختلط <math>f</math> بر روی مجموعه باز ''D'' تحلیلی باشد. آنگاه <math>f</math> در معدلات کوشی-ریمان صدق
iy) = u(x, y) + iv(x, y)</math> آنگاه
:<math>{\partial u \over \partial x} = {\partial v \over \partial
خط ۲۹:
y} = {\partial v \over \partial x} ={\partial v \over \partial y} =
0</math>.
این نشان
== مشتق گیری ==
تابع <span dir=ltr>''f''(''z'') = ''u''(''x'', ''y'') + i ''v''(''x'',
''y'')</span> بر روی '''C''' را در نظر بگیرید. می خواهیم مشتق آن را در نقطهٔ ''z''<sub>0</sub> محاسبه کنیم.
اگر از مسیر اول برویم:
:{|
خط ۹۰:
\partial x}. \quad\square</math>
== شکل دیگر ==
فرض کنید <math>z = x + iy</math> برای متغیرهای حقیقی ''x'' و ''y''. آنگاه
z)/2</math> و <math>y = (z - \bar z)/(2i)</math>. اکنون ''x'' و ''y'' توابع حقیقی از متغیرهای مستقل مختلط <math>\mathit{z}</math> و <math>\bar
z</math> هستند. با مشتقگیری از ''x'' و ''y'':
خط ۱۱۱:
که برابر با معادلات کوشی-ریمان است.
== نمایش قطبی ==
با در نظر کرقتن نمایش قطبی <math>z=re^{i\theta}</math>، معادلات به این شکل در
:<math>{ \partial u \over \partial r } = {1 \over r}{ \partial v
\over \partial \theta},</math>
| |||