ویکی‌پدیا

نظریه اختلال در مکانیک کوانتومی: تفاوت میان نسخه‌ها

نمایش تاریخچه به صورت تعاملی
→ تفاوت قدیمی‌ترتفاوت جدیدتر ←
محتوای حذف‌شده محتوای افزوده‌شده
دیداریویکی‌متن
جز ←‏جایگزینی با [[وپ:اشتباه|اشتباه‌یاب]]: ایده‌آل⟸ایدئال، آشفاه⟸آشفته، وقاله⟸مقاله، کم‌انرژی⟸کم انرژی، می‌نمائیم⟸می‌نماییم، سولتون⟸...
خط ۱:
''برای مبانی ریاضی نظریه، [[نظریه اختلال]] را ببینید''{{سخ}}
در مکانیک کوانتومی،''' نظریهٔ اختلال''' {{انگلیسی|Perturbation theory}}، مجموعه‌ای از طرح‌های تقریبی است که مستقیماً مربوط به اختلال وابسته به ریاضی است که برای توصیف یک مجموعهٔ کوانتمی پیچیده بر حسب یک مجموعهٔ ساده‌تر بکار می‌رود. ایدهٔ ما این است که با یک سیستم ساده شروع نمائیم که در آن یک روش ریاضی شناخته شده استشده‌است و افزودن [[هامیلتونی (مکانیک کوانتومی)|هامیلتون]]، آشفته، نشان دهندهٔ اختلال ضعیف در سیستم خواهد بود. اگر اختلال زیاد نباشد، کمیت‌های مختلف فیزیکی توأم با سیستم آشفته (برای مثال سطح انرژی و حالت انرژی)، طبق الزامات پیوستگی، بصورت اصطلاحات سیستم ساده تعریف می‌شوند. این اصطلاحات، اگرچه در مقایسه با مقدار کمیت‌ها کوچک هستند، می‌توانند با استفاده از روش‌های تقربی مانند مجموعه‌های مجانب محاسبه شوند؛ بنابراین سیستم پیچیده را می‌توان بر مبنای دانش سیستم ساده‌تر مورد مطالعه قرار داد.<ref>{{Citation | last1=Cropper | first1=William H. | title=Great Physicists: The Life and Times of Leading Physicists from Galileo to Hawking | publisher=[[انتشارات دانشگاه آکسفورد|Oxford University Press]] | isbn=978-0-19-517324-6 | year=2004 | page=34}}.</ref>
 
== کاربردهای نظریهٔ اختلال ==
نظریهٔ اختلال ابزار مناسبی برای توصیف سیستم‌های کوانتومی است، زیرا یافتن روش دقیقی در [[معادله شرودینگر|معادلات شرودینگر]] در هامیلتون‌هایی با پیچیدگی متوسط دشوار است. حرکت‌های هامیلتونی که ما برای آن‌ها روش دقیقی داریم مانند اتم [[هیدروژن]]، [[نوسانگر هماهنگ]] کوانتوم و ذرات داخل جعبه، برای توصیف اغلب سیستم‌ها بسیار ایدئال هستند. با استفاده از نظریهٔ اختلال، ما می‌توانیم از روش‌های شناخته شده‌ای از این هامیلتون ساده برای ارائهٔ روش‌هایی برای دامنه‌ای از سیستم‌های پیچیده استفاده نمائیم.
برای مثال، با افزودن [[پتانسیل الکتریکی]] اختلالی به مدل مکانیکی کوانتوم اتم هیدروژن، می‌توانیم تغییرات کوچک موجود در [[خطوط طیفی هیدروژن]] را که حاصل از وجود میدان الکتریکی (اثر استارک) است محاسبه نمائیم. این محاسبه تقریبی است، زیرا جمع [[قانون کولن|پتانسیل کولن]] با پتانسیل خطی غیر ثابت می‌باشد، اگر زمان تونل‌زنی بسیار طولانی است. این امر بصورت بسط انرژی خطوط طیفی نشان داده شده است،شده‌است، چیزی که نظریهٔ اختلال نتوانست بطور کامل آنرا عملی نماید. مقادیر بدست آمده حاصل از نظریهٔ اختلال دقیق نمی‌باشند، ولی نتایج دقیقی را مانند پارامترهای بسط دهنده در اختیارمان قرار می‌دهند.
 
در تئوری الکترودینامیک کوانتوم که در آن تعامل [[فوتون]] [[الکترون]] بصورت آشفته می‌باشد، محاسبهٔ گشتاور مغناطیسی الکترون با ۱۱ اعشار سازگار خواهد بود. تحت برخی از شرایط، تئوری اختلال رویکرد نامعتبری محسوب می‌گردد. این امر زمانی بروز می‌نماید که ما نتوانیم سیستم را با اختلال تحمیلی اندک در سیستم‌های ساده توصیف نمائیم. برای مثال در دینامیک رنگی کوانتوم‌ها، تعامل کولاک با گلون در سطوح کم انرژی آشفتگی ایجاد نمی‌نماید، زیرا ثابت‌های جفت (پارامترهای توسعه‌ای) بسیار بزرگ می‌شوند. تئوری اختلال هم‌چنین نمی‌تواند حالاتی را که بصورت آدیاباتیک از «مدل آزاد» بوجود آمده‌اند را توصیف نماید، مانند حالات مرزی و پدیده‌های جمعی مختلف مانند سالیتون. برای مثال، تصور نمائید که ما دارای سیستمی با ذرات آزاد هستیم که در آن یک تعامل جالبی وجود دارد. بسته به نوع تعامل این امر ممکن است موجب ایجاد مجموعه پدیدی از حالات انرژی مرتبط با گروهی از ذرات گردد که به یکدیگر متصل هستند. یک نمونه از این پدیده در فوق هدایت قراردادی مشاهده شده استشده‌است که در آن جاذبهٔ فونون بین الکترون‌های رسانا موجب تشکیل جفت‌های الکترونی هسته می‌شود که جفت‌های کوپر نامیده می‌شوند. حین مواجهه با چنین سیستم‌هایی اغلب یکی به نمای تقریبی دیگری تبدیل می‌شوند مانند متدهای تغییر و تقریب WKB. این امر بدین دلیل است که هیچگونه شباهتی از ذرات پیوسته در مدل آشفته و انرژی سولیتون وجود ندارد که عکس پارامترهای انبساطی می‌باشد. به هر حال اگر ما پدیدهٔ سولیتون را یکپارچه نمائیم، اصطلاحات غیر مختل در این جااین‌جا بسیار اندک خواهد بود. نظریهٔ اختلال تنها می‌تواند محصول‌هایی را مورد بررسی قرار دهد که رابطهٔ نزدیکی با محصول‌های غیرآشفته دارند، حتی اگر محصول‌های دیگری نیز وجود داشته باشد (که بعنوان پارامتر انبساطی است که به سمت صفر سوق می‌یابد). مسئلهٔ سیستم‌های غیرآشفته تا حدودی با کامپیوترهای مدرن حل شد. بدست آوردن چندین روش غیر اختلالی عددی در برخی مسائل خاص عملی گردید که در آن‌ها از متدهایی مانند نظریهٔ کاربردی چگالی استفاده می‌نمودند.
این پیشرفت‌ها در زمینهٔ شیمی کوانتوم بسیار مؤثر بوده استبوده‌است. از کامپیوترها هم‌چنین برای محاسبات نظریهٔ اختلال استفاده فراوانی شده استشده‌است که در فیزیک ذرات اهمیت فراوانی دارد و با استفاده از آن‌ها می‌توان نتایج تئوریکی را تولید نمود که قابل قیاس با آزمایش‌های می‌باشد.
 
== نظریهٔ اختلال مستقل از زمان ==
این نظریه یکی از مقوله‌های نظریهٔ اختلال است و مقولهٔ دیگر آن وابسته به زمان می‌باشد. در نظریهٔ مستقل از زمان هامیلتون اختلالی ایستا می‌باشد (یعنی هیچگونه وابستگی زمانی ندارد). نظریهٔ وابسته به زمان در مقاله ۱۹۲۶ [[آروین شرودینگر]] ارائه گردید که اندکی پس از ارائهٔ نظریات او در مکانیک امواج بود. در این مقاله شرودینگر به آثار اولیهٔ لرد رایلی اشاره نمود که در ارتعاشات هارمونیک لایه‌های آشفته شده بواسطهٔ ناهماهنگی اندک را بررسی نموده بود. به همین دلیل است که نظریهٔ اختلال رایلی- شرودینگر نیز نامیده می‌شود.
 
برای مطالعه مسایل حالتهای مانا، روی سه روش متمرکز می‌شویم: [[نظریه اختلال، روش وردشی، و روش WKB]]. نظریه اختلال بر این فرض استوار است که مسایلی که می‌خواهیم حل کنیم تنها اندکی با مسئله‌ای که می‌توان آن را به طوربه‌طور دقیق حل کرد، اختلاف دارند. در مواردی که اختلاف دو مسئله کوچک است، [[نظریه اختلال]] برای محاسبه سهم مربوط به این اختلال مناسب است؛ سپس این سهم به عنوان یک تصحیح به انرژی و تابع موجی هامیلتونی که بطور دقیق قابل حل است، اضافه می‌شود؛ بنابراین نظریه اختلال، برای بدست آوردن جوابهای تقریبی، به جوابهای دقیق شناخته شده جملاتی اضافه می‌کند. در مورد سیستم‌هایی که هامیلتونی آنها را نمی‌توان به یک قسمت قابل حل دقیق و یک تصحیح کوچک تقسیم کرد، چه می‌توان گفت؟ برای اینگونه سیستم‌ها می‌توانیم روش وردشی یا تقریب WKB را به کار گیریم. روش وردشی مخصوصاً در تقریب ویژه مقادیر انرژی حالت زمینه و چند حالت برانگیخته اول سیستم که فقط یک ایده کیفی در مورد شکل تابع موج داریم، مفید است.
 
روش WKB برای یافتن ویژه مقادیر انرژی و تابع موج‌های سیستمهایی که حد کلاسیکی معتبر است، مفید است. بر خلاف نظریه اختلال، روش‌های وردشی و WKB نیاز به وجود هامیلتونی بسیار نزدیک که بتوان بطور دقیق حل کرد، ندارند.
خط ۲۴:
برای سادگی فرض می‌کنیم، انرژی‌ها گسسته هستند.<math>(0)</math> اندیس بالا دلالت بر این دارد که کمیت‌ها با سیستم مختل نشده همبسته هستند. (به استفاده از [[نشان‌گذاری برا-کت]] توجه کنید)
 
هم اکنون هامیلتونی مختل شده را بررسی می‌کنیم. اجازه بدهید''V''را هامیلتونی نشان دهنده یک اختلال ضعیف فیزیکی بگیریم، به عنوان مثال انرژی پتانسیل تولید شده توسط میدان خارجی. (به این ترتیب، ''V'' رسمارسماً [[اپراتور تفکیک‌پذیر]]است) اجازه بدهید<math>\lambda</math> پارامتر بدون بعدی باشد که مقادیر پیوسته‌ای از ۰ (بدون اختلال) تا ۱ (اختلال کامل) می‌گیرد. هامیلتونی مختل شده به صورت زیر است:
 
:<math> H = H_0 + \lambda V </math>
خط ۵۳:
\end{matrix}</math>
 
گسترش این معادله و مقایسه ضریبها از هر توان از''λ''نتایج در یک سری نامتناهی از [[معادلات همزمان]] است. معادله مرتبه صفر به سادگی معادله شرودینگر برای سیستم مختل نشده استنشده‌است.
معادلات مرتبه صفر به صورت زیر است:
 
خط ۶۲:
:<math> E_n^{(1)} = \langle n^{(0)} | V | n^{(0)} \rangle </math>
 
به وضوح این [[مقدار انتظاری (کوانتوم مکانیک)|مقدار انتظاری]] هامیلتونی مختل شده استشده‌است. در حالیکه سیستم در حالت مختل نشده استنشده‌است. این نتیجه را می‌توان به این صورت تفسیر کرد: فرض کنید اختلال را اعمال کنیم، اما سیستم را در حالت کوانتومی <math>|n^{(0)}\rang</math> نگه داریم، هر کدام، یک مقدار حالت کوانتومی است، اگر چه یک ویژه حالت انرژی بزرگ نیست. اختلال باعث می‌شود که انرژی متوسط از این حالت با <math>\lang n^{(0)}|V|n^{(0)}\rang</math> افزایش یابد. هر چند تغییر انرژی درست کمی متفاوت است، چرا که ویژه حالت مختل شده دقیقاً شبیه به ویژه حالت ''<math>|n^{(0)}\rang</math>'' نیست. این تغییرات بیشتر با تصحیحات انرژی مرتبه دوم و بالاتر داده می‌شوند.
قبل از اینکه تصحیحات ویژه حالت انرژی را محاسبه کنیم، نیاز به روشی برای نرمالیزه کردن مسئله داریم. ممکن است فرض کنیم، ''<math>\lang n^{(0)}|n^{(0)}\rang = 1</math>''، اما در نظریه اختلال فرض می‌شود که ''<math>\lang n | n \rang = 1</math>'' راداریم. نظریه اختلال از اینکه مرتبه اول در ''λ'' است، پیروی می‌کند، پس باید داشته باشیم:
 
خط ۱۴۰:
 
== اصطلاحات مرتبه اول ==
ما با هامیلتون غیر آشفتهٔ <math> H_0</math> آغاز می‌نماییم که مفروض است هیچ‌گونه وابستگی زمانی ندارد. دارای سطوح و حالات انرژی شناخته شده استشده‌است که حاصل از معادلهٔ مستقل از زمان شرودینگر می‌باشد:
 
:<math> H_0 |n^{(0)}\rang = E_n^{(0)} |n^{(0)}\rang \quad,\quad n = 1, 2, 3, \cdots </math>
خط ۱۴۶:
به منظور وضوح بیشتر فرض می‌نماییم که انرژی‌ها گسسته می‌باشند. بالاوند (۰) نشان می‌دهد که این کیمت‌ها همراه با سیستم آشفته می‌باشند. به استفاده براکت توجه نمائید. حال ما یک اختلال در هامیلتون ایجاد می‌نماییم. فرض می‌کنیم V هامیلتونی باشد که نشان دهندهٔ اختلال فیزیکی ضعیف است، مانند انرژی پتانسیل ایجاد شده توسط میدان خارجی (بنابراین V یک عامل هرمیتی است). هامیلتون آشفته به این صورت می‌باشد:
:<math> H = H_0 + \lambda V </math>
سطوح انرژی و حالات انرژی هامیلتون آشفته با معادلهٔ شرودینگر ارائه شده استشده‌است:
 
:<math> \left(H_0 + \lambda V \right) |n\rang = E_n |n\rang. </math>
برگرفته از «https://fa.wikipedia.org/wiki/نظریه_اختلال_در_مکانیک_کوانتومی»