فضای توپولوژی: تفاوت میان نسخه‌ها

سودمندی مفهوم یک توپولوژی، با این حقیقت نشان داده می‌شود که چندین تعریف معادل برای این ساختار وجود دارد. بنابراین هر یک از آن‌ها می‌تواند به عنوان چند اصل طبقه‌بندی شده برای یک کاربرد خاص یا آنچه مورد نیاز است، انتخاب شود. پراستفاده‌ترین و ظریف‌ترین این تعاریف، تعریف با استفاده از [[مجموعه باز|مجموعه‌های باز]] است. اما قابل‌درک ترینقابل‌درک‌ترین آن‌ها، تعریف با همسایگی هاست.

فرض کنید ''X'' یک مجموعه باشد. اعضای ''X'' معمولامعمولاً ''نقاط'' نامیده می‌شوند هرچند که می‌توانند هر شئ ریاضی دیگر باشند. همچنین ''X'' می‌تواند تهی باشد. فرض کنید '''N''' یک [[تابع]] باشد که هر ''x'' (نقطه) از ''X'' را به یک گردایه ناتهی ('''N'''(''x'' از زیرمجموعه‌های ''X'' نسبت دهد. اعضای ('''N'''(''x'' همسایه‌های ''x'' نامیده می‌شود. تابع '''N''' [[همسایگی (توپولوژی)|همسایگی]] نامیده می‌شود اگر از چهار اصل زیر پیروی کند؛ آن‌گاه ''X'' با '''N''' یک '''فضای توپولوژیک''' نامیده می‌شود. فضای توپولوژیکی که در آن نقاط همان توابع باشند،یک فضای تابعی نام دارد.

#هر همسایگی ''N'' از ''x'' شامل همسایگی ''M'' از ''x'' است به طوری کهبه‌طوری‌که ''N'' یک همسایگی برای هر نقطه از ''M'' باشد.

مثال استاندارد برای سیستم همسایگی‌ها خط اعداد حقیقی است که در آن زیر مجموعه ''N'' از '''R''' یک ''همسایگی'' از عدد حقیقی ''x'' است، اگر یک بازه‌یبازهٔ باز وجود داشته باشد که نقطه ''x'' را شامل شود و نیز مشمول ''N'' باشد.

#'''X'' = '''Z'' مجموعه اعداد صحیح. گردایه ''T'' برابر با همه زیرمجموعه‌های متناهی اعداد صحیح مثبت خودش یک توپولوژی نیست. زیرا برای مثال اجتماع تمام زیر مجموعه‌های متناهی که شامل صفر نیستند، نامتناهی است و همه‌یهمهٔ '''Z''' نیست بنابراین در ''T'' قرار نمی‌گیرد.