تفاوت میان نسخه‌های «مشتق توابع مثلثاتی»

جز
جز (←‏فهرست مشتق تابع‌های مثلثاتی و وارون آن‌ها: اصلاح فاصله مجازی + اصلاح نویسه با استفاده از AWB)
برچسب: متن دارای ویکی‌متن نامتناظر
{| class="wikitable"
|-
! تابع !! مشتق<ref>سیلورمن؛ تابع سینوس و کسینوس: ص. ۱۷۹؛ سایر تابع‌ها: صص. ۲۱۰-۲۱۱۲۱۰–۲۱۱</ref> !! تابع وارون !! مشتق تابع وارون<ref>{{یادکرد کتاب | نویسنده=کاکسفورد | صفحات=۲۴۴، ۲۴۵، ۲۵۱}}</ref>
|-
| <math>\sin(x)</math> || <math>\cos(x)</math> || <math>\arcsin(x)</math> || <math>\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}</math>
== اثبات مشتق تابع‌های مثلثاتی ==
برای اثبات مشتق‌ها نخست باید چند قضیه مهم حد که در استخراج رابطه برای مشتق‌ها مورد نیاز هستند، اثبات شوند.
 
=== حد {{math|{{sfrac|sin θ|θ}}}} در θ→۰ ===
[[پرونده:Lim Circ.jpg|بندانگشتی|<center>{{وسط‌چین}}دایره به مرکز ''O'' و شعاع ''r''</center>{{پایان}}]]
 
نمودار سمت چپ، یک دایره به مرکز ''O'' و شعاع ''r'' را نشان می‌دهد. زاویه θ در مرکز دایره قرار دارد و از دو شعاع ''OA'' و ''OB'' ساخته شده‌است. از آن‌جایی که می‌خواهیم θ را به سمت صفر میل دهیم، آن را یک مقدار کوچک مثبت در نظر می‌گیریم.
 
برپایه تابع‌های مثلثاتی، مساحت مثلث‌ها به دست می‌آید:
* مثلث ''OAB'' (کوچک): {{math|{{sfrac|۱|۲}} {{!!}}OA{{!!}} . {{!!}}OB{{!!}} .sinθ {{=}} {{sfrac|۱|۲}} r<sup>۲</sup> .sinθ}}
* مثلث ''OAC'' (بزرگ): {{math|{{sfrac|۱|۲}} {{!!}}OA{{!!}} . {{!!}}AC{{!!}} {{=}} {{sfrac|۱|۲}} r. r.tanθ {{=}} {{sfrac|۱|۲}} r<sup>۲</sup> .tanθ}}
مساحت قطاع ''OAB'' که روبرو به زاویه θ است، نیز برابر است با {{math|{{sfrac|۱|۲}} r<sup>۲</sup>}}.
 
با جایگذاری مقادیر بالا در نامعادله، داریم:
:<span style="font-size: large;">{{math|{{sfrac|۱|۲}} r<sup>۲</sup>.sinθ <{{sfrac|۱|۲}} r<sup>۲</sup>. θ <{{sfrac|۱|۲}} r<sup>۲</sup>.tanθ}}</span>.
 
از آن‌جایی که شعاع دایره بزرگتر از صفر است، می‌توان طرف‌های نامعادله را بر r<sup>۲</sup> تقسیم کرد. هم‌چنین با توجه به این که زاویه θ بزرگ‌تر از صفر است، سینوس آن نیز بزرگ‌تر از صفر می‌باشد و می‌توان طرف‌های نامعادله را بر sinθ نیز تقسیم کرد.کرد؛ بنابراین، نامعادله به صورت زیر در می‌آید:
:<span style="font-size: large;">{{math|۱ <{{sfrac|θ|sinθ}} <{{sfrac|۱|cosθ}}}} ⇒ {{math|۱> {{sfrac|sinθ|θ}}> cosθ}}</span>
 
:<math>\lim_{\theta \to 0^-} \tfrac{\sin\theta}{\theta} = \lim_{\theta\to 0^+}\tfrac{\sin(-\theta)}{-\theta} = \lim_{\theta \to 0^+}\tfrac{-\sin\theta}{-\theta} = \lim_{\theta\to 0^+}\tfrac{\sin\theta}{\theta} = 1</math>.
 
[[پرونده:Squeeze FbN.png|بندانگشتی|<center>{{وسط‌چین}}Squeeze: The curves {{nowrap|1=''y'' = 1}} and {{nowrap|1=''y'' = cos(θ)}} shown in red, the curve {{nowrap|1=''y'' = sin(θ)/θ}} shown in blue.</center>{{پایان}}]]
 
=== حد {{math|{{sfrac|cos θ - ۱|θ}}}} در θ→۰ ===
در این بخش، از نتیجه [[بخش پیشین]] استفاده می‌شود. برخلاف سینوس، کسینوس در نزدیکی صفر، همواره مثبت است.است؛ بنابراین علامت θ در محاسبه، اهمیتی ندارد.
:<math> \lim_{\theta \to 0} \left(\tfrac{\cos\theta - 1}{\theta}\right) = \lim_{\theta \to 0} \left[ \left( \tfrac{\cos\theta - 1}{\theta} \right) \left( \tfrac{\cos\theta + 1}{\cos\theta + 1} \right) \right] = \lim_{\theta \to 0} \left( \tfrac{\cos^2\theta - 1}{\theta(\cos\theta + 1)} \right)</math>.
اتحاد {{math|sin<sup>۲</sup>θ + cos<sup>۲</sup>θ {{=}} ۱}} را می‌توان به صورت {{math|cos<sup>۲</sup>θ - ۱ {{=}} -sin<sup>۲</sup>θ}} نیز نوشت.نوشت؛ بنابراین با دانستن این که حد حاصل‌ضرب با حاصل‌ضرب حدها برابر است، حد بالا به صورت زیر در می‌آید:
:<math> \lim_{\theta \to 0} \left(\tfrac{\cos\theta - 1}{\theta}\right) = \lim_{\theta \to 0} \left( \tfrac{-\sin^2\theta}{\theta(\cos\theta+1)} \right) = \lim_{\theta \to 0} \left( \tfrac{-\sin\theta}{\theta}\right) \times \lim_{\theta \to 0} \left( \tfrac{\sin\theta}{\cos\theta + 1} \right) = (-1) \times \frac{0}{2} = 0 </math>.
 
:<math> \tfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\sin\theta = \lim_{\delta \to 0} \left( \tfrac{\sin(\theta + \delta) - \sin \theta}{\delta} \right)</math>.
با استفاده از اتحاد جمع دو زاویه (sin(α+β) = sin α cos β + sin β cos α) داریم:
:<math> \tfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\sin\theta = \lim_{\delta \to 0} \left( \tfrac{\sin\theta\cos\delta + \sin\delta\cos\theta-\sin\theta}{\delta} \right) = \lim_{\delta \to 0} \left[ \left(\tfrac{\sin\delta}{\delta} \cos\theta\right) + \left(\tfrac{\cos\delta -1}{\delta}\sin\theta\right) \right]</math>.
با استفاده از حد تابع‌های سینوس و کسینوس (که بالاتر، اثبات شده‌اند):
:<math> \tfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\sin\theta = (1\times\cos\theta) + (0\times\sin\theta) = \cos\theta</math>.
:<math> \tfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\cos\theta = \lim_{\delta \to 0} \left( \tfrac{\cos(\theta+\delta)-\cos\theta}{\delta} \right)</math>.
با سود بردن از اتحاد {{nowrap|1=cos(α+β) = cos α cos β – sin α sin β}} داریم:
:<math> \tfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\cos\theta = \lim_{\delta \to 0} \left( \tfrac{\cos\theta\cos\delta - \sin\theta\sin\delta-\cos\theta}{\delta} \right) = \lim_{\delta \to 0} \left[ \left(\tfrac{\cos\delta -1}{\delta}\cos\theta\right) - \left(\tfrac{\sin\delta}{\delta} \sin\theta\right) \right]</math>.
با استفاده از حد تابع‌های سینوس و کسینوس (که بالاتر، اثبات شده‌اند):
:<math> \tfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\cos\theta = (0 \times \cos\theta) - (1 \times \sin\theta) = -\sin\theta</math>.
:<math> \tfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\tan\theta = \lim_{\delta \to 0} \left( \tfrac{\tan(\theta+\delta)-\tan\theta}{\delta} \right)</math>.
با استفاده از اتحاد جمع دو زاویه ({{nowrap|1=tan(α+β) = (tan α + tan β) / (1 - tan α tan β)}}) داریم:
:<math> \tfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\tan\theta = \lim_{\delta \to 0} \left[ \frac{\tfrac{\tan\theta + \tan\delta}{1 - \tan\theta\tan\delta} - \tan\theta}{\delta} \right] = \lim_{\delta \to 0} \left[ \tfrac{\tan\theta + \tan\delta - \tan\theta + \tan^2\theta\tan\delta}{\delta \left( 1 - \tan\theta\tan\delta \right)} \right]</math>.
پس از تبدیل حد حاصل‌ضرب به حاصل‌ضرب حدها:
:<math> \tfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\tan\theta = \lim_{\delta \to 0} \tfrac{\tan\delta}{\delta} \times \lim_{\delta \to 0} \left( \tfrac{1 + \tan^2\theta}{1 - \tan\theta\tan\delta} \right)</math>.
می‌توان مشتق تابع تانژانت را با قاعده زنجیری نیز به دست آورد:
:<math>\tfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta} \tan\theta = \tfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta} \tfrac{\sin\theta}{\cos\theta} = \tfrac{\left(\sin\theta\right)^\prime \cdot \cos\theta - \sin\theta \cdot \left(\cos\theta\right)^\prime}{\cos^2 \theta}
= \tfrac{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta}{\cos^2 \theta}</math>.
صورت کسر، بنابر قضیه فیثاغورس، برابر ۱ است. در نتیجه:
:<math>\tfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta} \tan\theta = \tfrac{1}{\cos^2 \theta} = \sec^2 \theta</math>.
 
=== مشتق تابع وارون سینوس ===
تابع وارون سینوس را به صورت (y=arcsin(x در بازه {{math|{{sfrac|-π|۲}} ≤ y ≤ {{sfrac|π|۲}}}} تعریف می‌کنیم.می‌کنیم؛ بنابراین sin(y)=x. اکنون با استفاده از مشتق ضمنی و حل آن برای {{math|{{sfrac|dy|dx}}}} داریم:
 
:<math>{d \over dx}\sin y={d \over dx}x</math>
 
=== مشتق تابع وارون کسینوس ===
تابع وارون کسینوس را به صورت (y=arccos(x در بازه {{math|۰ ≤ y ≤ π}} تعریف می‌کنیم.می‌کنیم؛ بنابراین cos(y)=x. اکنون با استفاده از مشتق ضمنی و حل آن برای {{math|{{sfrac|dy|dx}}}} داریم:
 
:<math>{d \over dx}\cos y={d \over dx}x</math>
 
=== مشتق تابع وارون تانژانت ===
تابع وارون سینوس را به صورت (y=arctan(x در بازه {{math|{{sfrac|-π|۲}} ≤ y ≤ {{sfrac|π|۲}}}} تعریف می‌کنیم.می‌کنیم؛ بنابراین tan(y)=x. اکنون با استفاده از مشتق ضمنی و حل آن برای {{math|{{sfrac|dy|dx}}}} داریم:
 
:<math>{d \over dx}\tan y={d \over dx}x</math>
 
=== مشتق تابع وارون کتانژانت ===
تابع وارون سینوس را به صورت (y=arccot(x در بازه {{math|{{sfrac|-π|۲}} ≤ y ≤ {{sfrac|π|۲}}}} تعریف می‌کنیم.می‌کنیم؛ بنابراین cot(y)=x. اکنون با استفاده از مشتق ضمنی و حل آن برای {{math|{{sfrac|dy|dx}}}} داریم:
 
:<math>{d \over dx}\cot y={d \over dx}x</math>