ژئودزیک: تفاوت میان نسخه‌ها

در [[ریاضیات]] و به خصوص [[هندسه دیفرانسیل]] ٬ یک '''ژئودزیک''' تعمیمی از مفهوم خط مستقیم به روی [[خمینه|خمینه‌ها]] است.در حضور یک [[اتصال افاین]] ٬ به صورت منحنی هاییمنحنی‌هایی تعریف می‌شوند که[[فضای مماس|بردار مماس]] آن‌ها در صورت ترانهاده شدن ٬موازی باقی بمانند.اگر این اتصال ٬ [[اتصال لوی-چیویتا]] ایجاد شده توسط [[متریک ریمان]] باشد٬ آن‌گاه ژئودزیک‌ها (به صورت [[ویژگی محلی بودن|محلی]] ) کوتاه‌ترین مسیر بین نقاط در فضا هستند.

واژۀ ژئودزیک از [[ژئودزی]] ٬ دانش اندازه‌گیری اندازه و شکل زمین برگرفته شده استشده‌است.در ابتدا٬ منظور از یک ژئودزیک ٬ کوتاه‌ترین مسیر بین دو نقطه روی سطح زمین ٬ یعنی قسمتی از یک [[دایره بزرگ|دایرۀ عظمیه]] بود.اما بعدها از این واژه تعمیم داده شد تا اندازه‌گیری‌ها در فضاهای ریاضیاتی عمومی‌تری را نیز شامل شود. برای مثال در [[نظریه گراف]] می‌توان از ژئودزیک بین دو [[رأس (نظریه گراف)|رأس]] از یک گراف صحبت کرد.

در [[فضای متری|هندسه متریک]] یک ژئودزیک [[خم|خمی]] است که که در همه‌جا به صورت [[ویژگی محلی|محلی]] یک کمینه کنندۀ فاصله است.به طوربه‌طور دقیق‌تر یک خم γ: ''I'' → ''M'' از بازۀ ''I'' روی اعداد حقیقی به [[فضای متریک]] ''M'' یک ژئودزیک است اگر یک [[ثابت ریاضی|ثابت]] ''v'' ≥ 0 یافت شود به‌طوری کهبه‌طوری‌که برای هر ''t'' ∈ ''I'' یک همسایگی ''J'' از ''t'' در ''I'' وجود دارد به طوری‌کهبه‌طوری‌که برای هر {{nobr|''t''₁, ''t''₂ ∈ ''J''}} داشته باشیم:

فاصله (''d''(''p'', ''q'' بین دو نقطه ''p'' و ''q'' در ''M'' به صورت [[اینفیمم]] طول روی همۀ خم‌های پیوستۀ ٬ به صورت تکه‌ای مشتق‌پدیر γ : [''a'',''b''] → ''M'' به طوریکهبه‌طوری‌که γ(''a'') = ''p'' و γ(''b'') = ''q'' . با این تعریف از فاصله٬ ژئودزیک‌ها در یک خمینۀ ریمانی٬ مسیرهای (به صورت محلی) کمینه کنندۀ فاصله هستند.( به معنای آورده شده در بالا)