فضای فشرده: تفاوت میان نسخه‌ها

در آنالیز ریاضی مجموعه‌ای که هر پوشش آن یک زیر پوشش متناهی داشته باشد مجموعه‌ای فشرده (=جمع و جور) خوانده می‌شود. از تبعات آن این است که [[زیر مجموعه]]‌ای از [[فضای اقلیدسی]] ‎<math>\mathbb{R}</math>ⁿ که [[مجموعه‌یمجموعهٔ بسته|بسته]] و [[مجموعه‌ کراندار|کراندار]] باشد، فشرده است. مثلاً در <math>\mathbb{R}</math> [[فاصله‌یفاصلهٔ یکه‌ی]] بسته‌یبستهٔ [0,1] فشرده است، اما مجموعه‌یمجموعهٔ اعداد صحیح <math>\mathbb{Z}</math> این طور نیست (زیرا کراندار نیست) و بازه‌یبازهٔ نیمه باز <span dir=ltr><nowiki>[0, 1)</nowiki></span> نیز همینطور (زیرا بسته نیست).

یک روش جدیدتر این است که یک [[فضای توپولوژیکی]] را فشرده بنامیم اگر که هر [[پوشش باز]] آن یک زیر پوشش متناهی داشته باشد. قضیه‌یقضیهٔ هاینه-بورل نشان می‌دهد این تعریف معادل است با زیر «بسته و کراندار» برای زیر مجموعه‌های فضای اقلیدسی.

از دیرباز تشخیص داده شده که ویژگیهاdی نظیر فشردگی برای اثبات بسیاری از قضایا لازم و ضروریست.«فشرده» به معنی «متوالیا فشرده» می‌بوده است (هر دنباله یک زیر دنباله‌یدنبالهٔ همگرا دارد). این زمانی بود که [[فضاهای متریک]] مورد بررسی قرار گرفت. تعریف «پوشش فشرده» کاربرد گسترده تری پیدا کرد، زیرا به ما امکان ارزیابی کلی فضاهای توپولوژیکی را می‌دهد، و بسیاری از نتایج قدیمی در مورد فضاهای متریک با این زمینه کلیت پیدا می‌کند. این کلیت بخشی به طور خاص در بررسی و تحقیق پیرامون [[فضای تابعی|فضاهای تابعی]] مفید و سودمند است.

* هر [[دنباله]] در مجموعه دارای یک زیر دنباله‌یدنبالهٔ همگراست، نقطه حدی‌ای که به مجموعه تعلق دارد.

* هر زیر مجموعه‌یمجموعهٔ نامتناهی از مجموعه یک [[نقطه‌ینقطهٔ تجمع]] در مجموعه دارد.

* مجموعه بسته یا کراندار است. این شرطی است که به راحتی می‌توان بررسی کرد ،به‌عنوان مثال [[بازه‌یبازهٔ بسته]].

* مجموعه‌یمجموعهٔ تهی

* بازه‌یبازهٔ یکه‌ییکهٔ بسته‌یبستهٔ <span dir=ltr>[0, 1]</span> فشرده است (ولی بازه‌یبازهٔ نیمه باز <span dir=ltr><nowiki>[0, 1)</nowiki></span> نه)

* قضیه‌یقضیهٔ مقدار نهایی: یک تابع پیوسته‌یپیوستهٔ حقیقی روی یک فضای فشرده کراندار است و مقدار ماکزیمم خود را می‌گیرد.

* یک زیرمجموعه‌یزیرمجموعهٔ بسته از یک فضای فشرده، فشرده است.

* یک مجموعه‌یمجموعهٔ فشرده‌یفشردهٔ ناتهی از [[عدد حقیقی|اعداد حقیقی]] بزرگ‌ترین عضو و کوچک‌ترین عضو دارد.

* یک زیرمجموعه از فضای اقلیدسی n-بعدی فشرده است اگر و تنها اگر بسته و کراندار باشد.([[قضیه‌یقضیهٔ هاینه-بورل]])