ویکی‌پدیا

عدد اول مرسن: تفاوت میان نسخه‌ها

نمایش تاریخچه به صورت تعاملی
→ تفاوت قدیمی‌ترتفاوت جدیدتر ←
محتوای حذف‌شده محتوای افزوده‌شده
دیداریویکی‌متن
Tanhabot (بحث | مشارکت‌ها)
ربات‌ها
۱۸۶٬۰۵۸ ویرایش‌ها
جز ربات: اصلاح حمزهٔ بعد از "ه"
Tanhabot (بحث | مشارکت‌ها)
ربات‌ها
۱۸۶٬۰۵۸ ویرایش‌ها
جز ربات: ویرایش جزئی
خط ۱۰:
== اثبات چند قضیه کاربردی در این رابطه ==
'''قضیه1:''' اگر <math>M_n</math> اول باشد, n نیز باید خود اول باشد.
خط ۱۸:
پس اگر s زوج باشد, طبق اتحاد مزدوج و اگر فرد باشد طبق اتحاد چاق و لاغر ([[لاگرانژ]]) به عوامل اول تجزیه می‌شود و اول نیست؛ پس به تناقض می رسیم و n باید اول باشد.
=== اعداد مرسن واعداد کامل(تام) ===
بدیهی است که اعداد مرسن در مبنای دو به صورت <math>((100\cdots0)-1)_2</math> است که برابر <math>(11\cdots1)_2</math> است ( p تا یک دارد).
تعریف: عدد کامل(تام) عددی است که با مجموع مقسوم علیه‌های خود, به جز خودش, برابر باشد؛ معروفترین آنها : 6=3+2+1 و 28=14+7+4+2+1 هستند
 
'''قضیه2''': هر عدد کامل به صورت <math>(2^p-1)(2^{p-1})</math> است که <math>2^p-1</math> اول است.
این ها اعداد به شکل <math>2^p-1</math> مرسن هستند و متعاقباً توان های آن ها (p)اول است.
پس با یافتن هر عدد کامل, می‌توان یک عدد مرسن جدید پیدا کرد.
 
=== آزمایش لوکاس- لمر ===
تقسیم آزمایشی اکثراً برای تصدیق مرکب بودن یک عدد مرسن اول پنهان استفاده می‌شود.
این آزمایش, فوراً نشان می‌دهد که <math>M_p</math> به ازای p=11,23,83,131,179,191,239,251 مرکب است (به ترتیب با عوامل اول 23, 47, 167, 263, 359, 383, 479 و 503).
 
یک آزمایش بسیار قدرتمند اولیه برای شناسایی <math>M_p</math> آزمایش لوکاس- لمر است:
 
ابتدا سه قضیه زیر را مطرح می کنیم:
 
#اگر <math>n\equiv3</math>به پیمانه 4 و n اول باشد, در این صورت 2n+1 | Mn , اگر 2n+1 اول باشد.
#همچنین این درست است که عوامل اول <math>2^p-1</math> باید شکل 2kp+1 داشته باشند که k یک عدد مثبت طبیعی است و در عین حال شکل 8n+1 یا 8n-1 را داشته باشد (آسپنسکی و هیسلت 1939).
#یک عامل اول p از یک عدد مرسن <math>M_p=2^p-1</math> (چه اول و چه مرکب), در صورتی عدد ویفریچ اول است که <math>p^2|2^p-1</math> . بنابراین, یک عدد مرسن نمی‌تواند عدد [[ویفریچ]] اول باشد.
خط ۴۲:
=== آیا [[عدد کامل]] فرد وجود دارد؟ ===
می دانیم تمام اعداد کامل, به صورت حاصل ضرب یک عدد اول مرسن توانی از دو می‌باشند؛ اما در مورد اعداد فرد کامل چه نظریه‌ای وجود دارد؟
اگر این چنین عددي وجود داشته باشد, در این صورت, به صورت حاصل ضرب یک مربع کامل در یک عدد اول به توان فرد می‌باشد, این عدد حداقل بر هشت عدد اول بخش پذیر است و حداقل 37 عامل اول دارد (لزومی ندارد که متمایز باشند)؛ این عدد حداقل در مبنای اعشاری 300 رقم دارد؛ و یک [[مقسوم علیه اول]] بزرگ تر از 1020 دارد.
 
=== آیا تعداد اعداد مرسن بی نهایت است؟ ===
این سوال معادل با پاسخ دادن به این سوال است که آیا تعداد نا محدودی عدد کامل زوج است.جواب این است که احتمالاً بله (زیرا [[سری هارمونیک]] وا گراست).
=== آیا تعداد اعداد مرسن مرکب بی نهایت است؟ ===
نظریه اولر: اگر k>1 باشد و p = 4k+3 اول باشد, در این صورت <math>p^2|2^p-1</math> نیز اول است, اگر و تنها اگر باقی مانده تقسیم 2p بر <math>p^2|2^p-1</math>برابر 1 باشد.
 
همچنین اگر p = 4k+3 باشد و <math>p^2|2^p-1</math>اول باشد, در این صورت عدد مرسن <math>p^2|2^p-1</math> مرکب است (این حدس احتمالاً منطقی است از آن جایی که که تعداد اعداد اولی که به ازای p به صورت 2p+1 باشد, بی نهایت است).
=== حدس جدید در بارهٔ اعداد مرسن ===
بیتمن, سلفریج و واگستاف, حدس زیر را زده اند:
فرض کنیم p هر عدد طبیعی فرد باشد؛ در این صورت اگر دو شرط اول - که در زیر آمده است- برقرار باشد, گزاره سوم برقرار خواهد بود:
خط ۶۳:
این سؤال بیشتر از این که یک حدس باشد، از دسته سؤال های جواب داده نشده است .
به راحتی می‌توان نشان داد که اگر مربع عدد اول p بر یک عدد مرسن تقسیم شود, در این صورت p یک عدد اول ویفریچ است و این اعداد کمیاب هستند! فقط دو عدد شناخته شده اند که زیر 4,000,000,000,000 هستند و هیچ کدام از این مربع ها بر یک عدد مرسن بخش پذیر نیستند.
 
[[پرونده:Mersenne.JPG]]
 
اگر دنباله‌ای به این صورت باشد که <math>A_p=2^{A_p}-1</math> و <math>A_0=2</math> , آیا همه این دنباله اول هستند؟
دیکـسون کاتـالان, در پاسخ این سؤال در سال 1876, به لوکاس اظهـار داشــت که 1-127^2(<math>A_4</math> ), به این ترتیب اول است.
همان طور که مشخص است این اعداد در این دنباله بسیار سریع, بزرگ می‌شوند:
 
C0 = 2 (اول)
 
C1 = 3 (اول)
 
C2 = 7 (اول)
 
C3 = 127 (اول)
 
C4 = 170141183460469231731687303715884105727 (اول)
 
...C5 > 1051217599719369681879879723386331576246 (سوال:آیا این عدد اول است؟)
 
به نظر می‌آید احتمال این موضوع خیلی کم باشد که A5 (یا چند عدد بزرگ تر از این دنباله) اول باشدبدون شک این مثال دیگری از «قانون قوی عددهای کوچک» Guy، است. دقت کنید که اگر یک عدد زوج و مرکب در این دنباله پیدا شود, طبق نظریه اول, تمام اعداد بعدی مرکب خواهند بود.
 
== تاریخچه ==
درسال 1963 کشف شد که 1-11213^2 اول است, و این به وسیله بسته‌های پستی مخصوص ساخته شده با مُهرِ فرستاده شده از ''یوبرانا, ایلینیوس'' اعلام شد.
یک شبکه تحقیقاتی توزیع شده در اینترنت توسط ''ولتمن'' به پا شده است که به GIMPS( Great Internet Mersenne Prime Search) معروف است و و داوطلبان بیشمار آن, از کامپیوترهای شخصی خود برای انجام دادن قسمت های مختلفی از تحقیقات استفاده می‌کنند. در 17 نوامبر 2003, یکی از داوطلبان [[GIMPS]] کشف چهلمین عدد مرسن را گزارش داد و این موضوع، پس از آن تأیید شد. شش ماه پس از آن،کشف چهل و یکمین عدد مرسن توسط یکی از داوطلبان این شبکه به ثبت رسید. عدد بعدی مرسن در این سری نیز در 18 فوریه 2005 اعلام شد. تلاش های داوطلبان GIMP، این پروژه محاسباتی توزیع شده را تبدیل به کاشف هشت عدد بزرگ تر اعداد مرسن نمود. در واقعیت, تا فوریه همین سال, شرکت کنندگان GIMPS, تمام توان های قبل از 9,889,900 را امتحان کردند و حتی دو بار چک کردند و همه توان های پایین تر از 15,130,000 را دست کم یک بار امتحان کردند.
== پیوند به بیرون ==▼
 
 
 
[[رده:اعداد]]▼
 
▲==پیوند به بیرون==
[http://mathworld.wolfram.com/MersenneNumber.html بیشتر بدانید]
[http://primes.utm.edu/mersenne/ سایت اعداد اول]
[http://www.isthe.com/chongo/tech/math/prime/mersenne.html /تمام مرسنها با ارقام دسيمال]
 
== مراجع ==
{{چپچین}}
 
سطر ۱۱۳ ⟵ ۱۰۸:
*Steinhaus, H. Mathematical Snapshots, 3rd ed. New York: Dover, pp. 23-24, 1999.
{{پایان چپچین}}
 
▲[[رده:اعداد]]
 
[[bg:Мерсеново просто число]]
برگرفته از «https://fa.wikipedia.org/wiki/عدد_اول_مرسن»