تفاوت میان نسخه‌های «تابع»

۶۱ بایت اضافه‌شده ،  ۱ سال پیش
جز
اصلاح فاصله مجازی + اصلاح نویسه با استفاده از AWB
(اصلاح پیوند(های) داخلی با ویرایشگر خودکار فارسی)
جز (اصلاح فاصله مجازی + اصلاح نویسه با استفاده از AWB)
در ابتدا، ایده تابع ترجیحاً محدود شد. [[ژوزف فوریه]] مدعی بود که تمام توابع از [[سری فوریه]] پیروی می‌کنند در حالی که امروزه با گسترش تعریف توابع، ریاضی‌دانان توانستند به مطالعه توابعی در ریاضی بپردازند که که در سراسر دامنه خود پیوسته ولی در هیچ نقطه‌ای مشتق‌پذیر نیستند این گونه توابع توسط [[وایراشتراس]] معرفی شدند. کشف چنین توابعی موجب شد تا توابع تنها به [[توابع پیوسته]] و مشتق‌پذیر محدود نشوند.
 
تا انتهای [[قرن نوزدهم]] ریاضی‌دانان در هر موضوع ریاضی به دنبال تعریفی بودند که براساس نظریه مجموعه‌ها و نتایج آن باشد. [[دیریکله]] و [[لوباچوسکی]] هر یک به طوربه‌طور مستقل همزمانهم‌زمان تعریف «رسمی» از تابع ارائه دادند.
 
بر طبق این تعریف، [[تابع حالت]] خاصی از یک [[رابطه]] است که در آن برای هر مقدار اولیه یک مقدار ثانویه منحصربه‌فرد وجود دارد.
 
تعریف تابع در [[علم رایانه]]، به عنوان حالت خاصی از یک رابطه، به طوربه‌طور گسترده‌تر در [[منطق]] و [[علم تئوری رایانه]] مطالعه می‌شود.
 
== در دیگر دانش‌ها ==
برای نمونه تناظر شکل ۱ نمایش دهنده یک تابع نمی‌باشد. چراکه عضو ۳ از مجموعه <math>X</math> به ''دو عضو'' (<math>b</math> و <math>c</math>) از <math>Y</math> متناظر شده‌است. اما شکل ۲ نشان دهنده یک تابع است. هر چند که دو عضو گوناگون از مجموعه <math>X</math> به یک عضو خاص از <math>Y</math> نسبت داده شده‌اند.
 
تابع <math>f</math> به عنوان هنجار تناظر، چیزی بجز توصیف نحوه تناظر اعضای <math>A</math> به <math>B</math> نیست که به طوربه‌طور کامل به‌وسیله همه [[زوج مرتب|زوج‌های مرتب]] <math>(a,f(a))</math> برای هر <math>a \in A</math> مشخص می‌شود پس تابع <math>f</math> را می‌توان به عنوان '''مجموعه''' همه این زوجهای مرتب، یعنی مجموعه همه زوج‌های مرتبی که مولفه اول آنهاآن‌ها عضو <math>A</math> بوده و مولفه دوم آنهاآن‌ها تصویر مولفه اول تحت تابع <math>f</math> در <math>Y</math> است، تعریف کرد. شرط تابع بودن تضمین می‌کند که هیچ دو زوج متمایزی در تابع<math> f</math> دارای مولفه اول یکسان نخواهند بود.
 
در این صورت در تابع <math>f:A \to B</math> برای هر <math>a \in A</math> گزاره <math>(a,b) \in f</math> را به صورت <math>b=f(a)</math> نشان می‌دهیم.
یک تابع از [[مجموعه (ریاضی)|مجموعه]] <math>X</math> به مجموعه <math>Y</math> [[رابطه|رابطه‌ای]] چون <math>f</math> از مجموعه <math>X</math> به مجموعه <math>Y</math> است که دارای شرایط زیر باشد:
# [[دامنه (تابع)|دامنه]] <math>f</math> [[مجموعه (ریاضی)|مجموعه]] <math>X</math> باشد، یعنی <math>dom f=X</math>.
# برای هر <math>x \in X</math> عنصر '''یگانه''' <math>y \in Y</math> موجود باشد که <math>(x,y) in f</math> یا به عبارتی هیچ دو [[زوج مرتب]] متمایزی متعلق به <math>f</math> دارای مولفه اول یکسان نباشند. شرط یگانگی را به طوربه‌طور صریح می‌توان یه این صورت فرمول بندی کرد که اگر <math>(x,y) \in f</math> و <math>(x,z) \in f</math> آنگاه الزاماً <math> y=z</math>.
 
=== علامت‌ها ===
برای هر <math>x \in X</math> یگانه عضو <math>y</math> در <math>Y</math> که به ازای آن <math>(x,y) \in f</math> را با <math>f(x)</math> نشان می‌دهیم. در مورد تابع این علامت‌گذاری، سایر علامت‌گذاری‌هایی را که در مورد روابط کلی تر استفاده می‌شوند چون <math>(x,y) \in f</math> یا <math>xfy</math> را متروک ساخته‌است. از این پس اگر <math>f</math> یک تابع باشد، بجایبه جای <math>(x,y) \in f</math> یا <math>xfy</math> می‌نویسیم<math>y=f(x)</math>. عضو <math>y</math> را ''مقدار تابع به ازای متغیر یا شناسه <math>x</math>'' یا '' تصویر <math>x</math> تحت <math>f</math>'' می‌گوییم و نیز <math>x</math> را ''پیش نگاره'' <math>y</math> می‌گوییم.
 
اگر <math>f</math> تابعی از [[مجموعه (ریاضی)|مجموعه]] <math>X</math> به (''در'' یا ''به توی'') [[مجموعه (ریاضی)|مجموعه]] <math>Y</math> باشد، این مطلب را به صورت سه تایی <math>(f,X,Y)</math> یا به طوربه‌طور معمول تر برای توابع با <math>f:X \to Y</math> نشان می‌دهیم.
 
== مشخص کردن تابع ==
در مواقعی که بیم ابهام نرود دامنه تابع ذکر نشده و به ذکر ضابطه تابع بسنده می‌شود. مثلاً عرف بر این است که در حساب دیفرانسیل و انتگرال دامنه توابع در صورت ذکر نشدن [[اعداد حقیقی]] یا بازه‌ای از اعداد حقیقی باشد.
 
برای نمایش بهتر، تابع را که خود یک هنجار (قاعده) برای تناظر است با f نشان می‌دهیم و ورودی یا ''شناسهٔ'' این تابع را با<math> x</math> نشان می‌دهیم که ممکن است عدد هم نباشد. یگانه مقدار خروجی که هنجار <math>f</math> به ورودی <math>x</math> نسبت می‌دهد را بجایبه جای <math>y</math> این‌بار با <math>f(x)</math> نشان می‌دهیم و آن را ''مقدار تابع <math>f</math> در <math>x</math>'' یا ''تصویر <math>x</math> تحت <math>f</math>'' می‌گوییم. همچنین از این پس به قاعده‌ای که هر <math>x</math> را به <math>y=f(x)</math> نسبت می‌دهد '''ضابطه تابع''' می‌گوییم.
 
نباید تابع را با ضابطهٔ آن اشتباه کرد. به عنوان مثال در مثال بالا <math>f</math> معرف خود تابع و گزاره <math>f(x)</math> معرف ضابطه تابع است.
 
بنابراین مفاهیم ''تحدید'' و ''توسیع'' دو مفهوم متقابل به هم می‌باشند. تحدید یک تابع به زیرمجموعه‌ای از دامنه خود همواره یک تابع است اما توسیع [[دامنه یک تابع]] به یک مجموعه جدید که دامنه تابع قبل زیرمجموعه‌ای از آن است همواره تابع نمی‌باشد ولذا در مورد توسیع توابع احتیاط بیشتری لازم است.
به طوربه‌طور کلی اگر f:A→Y یک تابع باشد توسیع تابع f به مجموعه X تابعی چون g با دامنه X است، به طوری کهبه‌طوری‌که تحدید g به مجموعه A برابر تابع f باشد یعنی g<sub>|A</sub>=f.
 
هچنین می‌توان همدامنه یک تابع را نیز تحدید کرد البته در این کار احتیاط لازم است، چراکه نباید اعضایی را که متعلق به برد تابع است را حذف نمود. اما اگر f:X→Y یک تابع باشد، با تحدید Y به (f(X که همان برد تابع f است می‌توان تابع (f:X→f(X را تشکیل داد که پوشا نیز هست.
== نمودار تابع ==
[[پرونده:Functiongraph1.jpg|بندانگشتی|شکل ۳. نمودار پیکانی یک تابع]]
منظور از نمودار یک تابع <math>f:X \to Y</math> به تصویر کشیدن تناظری است که <math>f</math> بین دو مجموعه <math>X</math> و <math>Y</math> ایجاد می‌کند. برای این کار برای همه روابط و بلاخص توابع عموماً از نمودار پیکانی استفاده می‌شود. برای رسم نمودار پیکانی تابع <math>f:X \to Y</math>، دو منحنی بسته نظیر آنچه در [[نمودار ون]] استفاده می‌شود را برای نمایش مجموعه <math>X</math> و <math>Y</math> انتخاب می‌کنیم و عناصر هر یک را به‌وسیله نقاطی در آنهاآن‌ها مشخص می‌کنیم. سپس بین هر عضو <math>x \in X</math> و <math>(f(x</math> یک پیکان از <math>x</math> به <math>(f(x</math> به نشانه تناظر بین آن دو رسم می‌کنیم. به عنوان مثال اگر {X={۱٬۲٬۳٬۴٬۵ و {Y={a,b,c,d,e و<math>f:X \to Y</math> به صورت <math>f=\{(1,a),(2,b),(3,c),(4,d),(5,e \}</math> تعریف شده باشد نمودار پیکانی آن به صورت مقابل است.
[[پرونده:Functiongraph2.jpg|بندانگشتی|شکل ۴. نمونه‌ای از نمودار یک تابع حقیقی در دستگاه مختصات دکارتی]]
این روش گرچه مناسب است ولی برای نمایش همه توابع بویژهبه ویژه توابعی با دامنه اعداد حقیقی (و به طوربه‌طور کلی توابعی که عددی هستند) چندان کاربرد ندارد.
اگر <math>f</math> تابعی با دامنه اعداد حقیقی <math>R</math> باشد آن را [[تابع حقیقی]] می‌گوییم و برای نمایش نمودار آن از [[دستگاه مختصات دکارتی]] استفاده می‌کنیم. روش کار به این صورت است که برای هر <math>x \in R</math> زوج مرتب <math>((x,f(x)</math> که نماینده نقطه‌ای در [[صفحه دکارتی]] است را رسم می‌کنیم و به این ترتیب نمودار تابع <math>f</math> حاصل می‌شود.
رسم نمودار تابع، باعث می‌شود دیدی کلی نسبت به آن تابع پیدا کنیم و همچنین بسیاری از خواص مربوط به توابع بویژهبه ویژه توابع حقیقی، مانند [[پیوستگی]]، [[مشتق|مشتق پذیری]]، [[نقطه بحرانی|نقاط بحرانی]] و [[نقطه عطف|عطف]]، [[تابع یکنوا|صعودی یا نزولی]] بودن و… از روی نمودار آنهاآن‌ها قابل تعیین است. به عنوان مثال با بررسی شکل (۴) می‌توان گفت این تابع در چه بازه‌هایی صعودی و در چه بازه‌هایی [[تابع یکنوا|نزولی]] است، این تابع در سراسر دامنه خود [[پیوستگی|پیوسته]] و [[مشتق|مشتق پذیر]] است، دارای دو [[نقطه بحرانی]] و یک [[نقطه عطف]] است.
[[پرونده:Notfunction.jpg|بندانگشتی|شکل ۵]]
همچنین از روی نمودار یک رابطه می‌توان تابع بودن آن را بررسی کرد. به عنوان مثال نمودار شکل (۱) معرف یک تابع نیست، زیرا عضو ۳ به دو مقدار متناظر شده‌است. همچنین در نمودار رسم شده در دستگاه دکارتی در شکل (۵)، برای هر [[عدد حقیقی]] مثبت x دو مقدار وجود دارد. به طوربه‌طور کلی یک نمودار در دستگاه مختصات دکارتی یک تابع است اگر هر خط عمودی مرسوم بر [[محور ایکس‌ها|محور <math>x</math>ها]] نمودار را حداکثر در یک نقطه قطع کند.
 
== فضای توابع ==
 
== توابع دو (یا چند) متغیره ==
عباراتی چون <math>f(x,y)=\sin (xy)</math> یا <math>f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2</math> را در نظر بگیرید. هر یک از آنهاآن‌ها دو یا بیش از دو متغیر از دامنه می‌پذیرند و یک مقدار یگانه را به آنهاآن‌ها نسبت می‌دهند. گاهی ممکن است تابع بجایبه جای یک شناسه دو یا چند شناسه را بپذیرد و آنهاآن‌ها را به یک عضو از برد خود نسبت دهد، در این صورت تابع را دو یا چند متغیره می‌گوییم. چنین توابعی رابطه‌ای بین بیش از دو مجموعه هستند. به عنوان مثال تابع اول را می‌توان تابعی به صورت <math>f:R\times R \to R</math> توصیف کرد که در این صورت [[تابع زوج]] <math>(x,y)</math> را به عنوان شناسه خود می‌پذیرد و آن را به عضوی از <math>R</math> نسبت می‌دهد که در این صورت اعضای تابع <math>f</math> را می‌توان به صورت سه تایی <math>((x,y,f(x,y)</math> نشان داد.
 
== انواع تابع ==
=== توابع مثلثاتی ===
{{اصلی|تابع‌های مثلثاتی}}
توابع مثلثاتی، تابع‌هایی هستند که [[زاویه]] را به نسبت طول اضلاع آن زاویه در یک [[مثلث قائم‌الزاویه]] مرتبط می‌کنند. توابع [[سینوس (ریاضیات)|سینوس]] و [[کسینوس]] از جملهٔ مهم‌ترین این توابع به شماربه‌شمار می‌روند. [[توابع مثلثاتی]] اهمیت بسیاری در [[ریاضیات کاربردی]] دارند و به خاطر ماهیت تناوبیشان، می‌توانند بسیاری از پدیده‌های تکرارشونده را توصیف کنند.
 
=== توابع متناوب ===
۱۳۳٬۲۴۲

ویرایش