بسط دوجمله‌ای: تفاوت میان نسخه‌ها
محتوای حذف‌شده محتوای افزوده‌شده
بدون خلاصۀ ویرایش برچسب: ویرایش مبدأ ۲۰۱۷ |
←لید: ویرایش و بازنویسی بخشی از لید |
||
خط ۱:
در [[ریاضیات]] و [[جبر مقدماتی]]٬ قضیهٔ '''بسط دو جمله‌ای''' (به انگلیسی: Binomial theorem or binomial expansion) گسترش جبری [[توان]]های دو جمله‌ای را توصیف می‌کند. بنا بر این قضیه؛ می‌توان چندجمله‌ای‌های {{math|(''x'' + ''y'')<sup>''n''</sup>}} را به صورت {{math|''a x''<sup>''b''</sup> ''y''<sup>''c''</sup>}}<!-- U+200A (hair space) --> گسترش داد: در حالی‌که {{math|''b''}} و {{math|''c''}} [[عدد طبیعی|اعداد طبیعی]]ِ غیر انتزاعی هستند و نیز ، {{math|''b'' + ''c'' {{=}} ''n''}} و [[ضریب]] {{math|''a''}} خود یک عدد صحیح مثبت است، و به علامت {{math|''n''}} و {{math|''b''}} وابسته است.
[[فرمول]]ها برای محاسبهٔ [[توان]]های دو جمله‌ای‌هایی- مثلاً برای نماهای ۲ تا ۵؛ که در آن‌ها (۲ ≤ ''n'' ≤ ۵) است به این صورت آمده‌اند:
{{چپ‌چین}}
:<math>(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\,</math>
سطر ۶ ⟵ ۸:
:<math>(x + y)^5 = x^5 + 5x^4y + 10x^3y^2 + 10x^2y^3 +5xy^4 + y^5\,</math>
{{پایان چپ‌چین}}
هدف این است که فرمولی برای <math>x+y)^n)</math> که در آن n [[عدد طبیعی]] است بدست آوریم. در
== قضیه دو جمله‌ای ==
▲اگر n عدد طبیعی باشد، انگاه
{{چپ‌چین}}
:<math>(x+y)^n=\sum_{k=0}^n{n \choose k}x^{n-k}y^{k}\quad\quad\quad(1)</math>
{{پایان چپ‌چین}}
که
در
== اثبات ==
یک روش برای اثبات قضیه دو جمله ای، [[استقرای ریاضی]] است وقتی که ''n'' =
{{چپ‌چین}}
:<math> (a+b)^0 = 1 = \sum_{k=0}^0 { 0 \choose k } a^{0-k}b^k.</math>
{{پایان چپ‌چین}}
برای گام استقرا فرض
{{چپ‌چین}}
:<math> (a+b)^{m+1} = a(a+b)^m + b(a+b)^m \,</math>
::<math> = \sum_{k=0}^m { m \choose k } a^{m-k+1} b^k + \sum_{j=0}^m { m \choose j } a^{m-j} b^{j+1}</math>
سطر ۳۵ ⟵ ۳۶:
::<math> = a^{m+1} + \sum_{k=1}^m { m \choose k } a^{m-k+1}b^k + \sum_{k=1}^{m} { m \choose k-1 }a^{m+1-k}b^{k} + b^{m+1}</math>
::<math> = a^{m+1} + b^{m+1} + \sum_{k=1}^m \left[
::<math> = a^{m+1} + b^{m+1} + \sum_{k=1}^m { m+1 \choose k } a^{m+1-k}b^k</math>
سطر ۴۳ ⟵ ۴۴:
=== اعداد دو جمله‌ای ===
یک عدد از فرم <math>\scriptstyle x^n \,\pm\, y^n</math>بدست
=== یک روش ساده برای بسط دادن دو جمله‌ای‌ها ===
برای بسط دادن دو جمله ایها ی به فرم
عبارت اول است و:<math>x^n \,</math> است و ضریب ثابت عبارت بعدی برابراست با ضرب ضریب ثابت فعلی در توان x تقسیم بر تعداد عبارت موجود، توان x کاهش و توان y افزایش میابد تا این که توان x به صفر و توان y به n برسد
سطر ۵۴ ⟵ ۵۶:
{{پایان چپ‌چین}}
عبارت اول
برای یافتن ضریب دومین عبارت: ضرب
به همین شکل ضریب ثابت بعدی
{{چپ‌چین}}
:<math>x^{10}+10x^9y+45x^8y^2+120x^7y^3+210x^6y^4+252x^5y^5+210x^4y^6+120x^3y^7+45x^2y^8+10xy^9+y^{10} .</math>
{{پایان چپ‌چین}}
متوجه می‌شوید که ضرایب ثابت متقارن هستند این زمانی اتفاق
ظاهراً عبارت بعدی، عبارت
{{چپ‌چین}}
:<math>\frac{km}{n+1}x^{m-1}y^{n+1}=\frac{d}{dx}\left( \int kx^my^n\,dy\right)</math>
سطر ۷۶ ⟵ ۷۸:
== پیوند به بیرون ==
* [http://www.algorithmha.ir/post.aspx?no=25 محاسبه ضرایب بسط دو جمله ای
== منابع ==
{{پانویس}}
{{چپ‌چین}}
* Carl B. Boyer, A history of mathematics, 2nd edition, by John Wiley & Sons, Inc. , page 393, 1991
{{پایان چپ‌چین}}
{{ویکی‌انبار-رده|Binomial theorem}}
| |||