انتگرال خطی: تفاوت میان نسخه‌ها

محتوای حذف‌شده محتوای افزوده‌شده
بدون خلاصۀ ویرایش
FreshmanBot (بحث | مشارکت‌ها)
جز اصلاح فاصله مجازی + اصلاح نویسه با استفاده از AWB
خط ۲:
{{حساب دیفرانسیل و انتگرال|موضوع=چندمتغیره}}
[[پرونده:Line integral of scalar field.gif|450px|thumb]]
در ریاضیات '''انتگرال منحنی الخط ''' ( '''انتگرال روی مسیر''' نیز نامیده می‌شود و یکی از شاخه هایشاخه‌های آن محاسبه کار و شار است ) انتگرالی است که یک تابع در طول یک منحنی انتگرال‌گیری می‌شود. خط‌ها و مسیرهای متفاوتی بکار می‌رود. اگر خط (منحنی) بسته باشد آن را انتگرال مسیری گویند.
 
تابعی که باید از آن انتگرال گرفته شود، ممکن است در یک [[میدان اسکالر]] یا یک [[میدان برداری]] باشد. مقدار انتگرال خطی برابر جمع مقادیر میدان روی تمام نقاط منحنی است و به وسیلهٔ مقدار توابع اسکالر روی منحنی محاسبه می‌شود (معمولاً طول کمان برای میدان‌های برداری، حاصل‌ضرب بردارهای متفاوت درون میدان است). مقدار دیفرانسیل‌گیری در انتگرال خطی ساده‌تر از انتگرال تعریف شده روی فاصله است. فرمول‌های ساده‌ای در فیزیک برای مثال <math>W=\vec F\cdot\vec d</math>) که در شرایط انتگرال خطی دارای پیوستگی طبیعی‌اند (برای مثال<math>W=\int_C \vec F\cdot d\vec s</math>) ). این انتگرال کاری را که روی حرکت شی در میدان گرانشی انجام می‌دهد، بدست می‌آورد.
خط ۱۵:
C: ناحیه‌ای که انتگرال رویش گرفته می‌شود
 
'''r'''(''t''): [a, b] <math>\to</math> ''C'' :که پارامتریزه شده روی C اند و (r(bو (r(a مقدار روی C اندC‌اند.
ds روش راه‌گشای ارائه شدهشده‌است است به طوری کهبه‌طوری‌که برابر طول کمان مقدماتی است. زیرا آنهاآن‌ها تنهاوابسته به محیط کمان‌اند، انتگرال خط میدان‌های اسکالر، وابسته به پارامتریزه شدن(r(t اندt‌اند. برای یک میدان برداری '''F''' : '''R'''<sup>''n''</sup> <math>\to</math> '''R'''<sup>''n''</sup>، انتگرال خطی روی منحنی C، با پرامتریزه کردن (r(t که تعریف می‌شود.
 
:<math>\int_C \mathbf{F}(\mathbf{r})\cdot\,d\mathbf{r} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt.</math>
 
انتگرال خطی میدان‌ها برداری به پارامتریزه شدن (r(t وابسته‌اند و مقدار اصلی آنهاآن‌ها وابسته به جهت آنهاست. به ویژه اگر جهت انتگرال عوض شود، مقدار متمایزی به ما می‌دهد.
 
== راه استقلال ==
خط ۳۶:
 
در لغت، انتگرال F روی C فقط وابسته به مقادیر نقاط (r(a و (r(b است. بدین گونه مستقل از راه‌ها و جهت‌های متفاوت است.
بنابراین یک میدان برداری که از گرادیان یک میدان اسکالر بدست آمده است،آمده‌است، راه استقلال می‌نامند.
 
== کاربردها ==
 
انتگرال خطی کاربرد زیادی در فیزیک دارد، برای مثال کار روی حرکت ذرات در میدان نیرو توسط (روی) منحنی C نمایش داده می‌شود به طوری کهبه‌طوری‌که جهت میدان F برابر انتگرال F روی C است.
 
== رابطه ی انتگرال خطی با آنالیز اعداد مختلط ==
 
چشم‌انداز [[اعداد مختلط]] به طوربه‌طور دو بعدی، انتگرال خطی در میدان برداری مرتبط است با [[قسمت حقیقی]] از انتگرال خطی با درهم آمیختن یک [[تابع مختلط]] با یک متغیر مختلط.
بنابر معادله کشی ریمان، حلقهی میدان برداری مطابق است با درهم آمیختن [[تابع هولومورفیک]] که برابر صفر است. این رابطه و تئوری (قضیه استوکس)، هر دو نمونه‌ای از انتگرال خطی‌اند که به صفر می‌رسند.
 
خط ۵۷:
:<math>\sum_{1 \le k \le n} f(\gamma(t_k)) ( \gamma(t_k) - \gamma(t_{k-1}) ).</math>
 
انتگرال بالا برابر حد مجموع بالاست که طول زیرمجموعه‌ها به سمت صفر میل می‌کند. اگر یک منحنی متغیر باشد، انتگرال خطی می‌تواند محاسبه کند، به طوری کهبه‌طوری‌که انتگرال تابع با مقادیر حقیقی باشد.
 
:<math>\int_\gamma f(z)\,dz
=\int_a^b f(\gamma(t))\,\gamma\,'(t)\,dt.</math>
 
وقتی<math>\gamma</math> یک منحنی بسته باشد مقدار اولیه و مقدار آخری با هم روی می‌دهد که آنراآن را با
 
:<math>\oint_\gamma f(z)\,dz</math>
خط ۸۴:
== مکانیک کوانتومی ==
{{اصلی|فرمول‌بندی ریاضی مکانیک کوانتم}}
راه انتگرال‌گیری در مکانیک کوانتومی، در واقع ارجاع داده می‌شود به روش انتگرال‌گیری از این طریق، اما توابع انتگرالی که انتگرال آنهاآن‌ها در فضاست نه میدان دوبعدی، اگرچه (اما) روش انتگرال‌گیری از این طریق دارای اهمیت بسیار زیادی در ریاضیات [[مکانیک کوانتومی]] دارد. برای مثال، انتگرال خطی مختلط اغلب در ارزیابی احتمال انباشتگی در قضیهی پراکندگی کوانتوم کاربرد دارد.
== جستارهای وابسته ==
* [[قضیه دیورژانس]]