ضرایب لاگرانژ: تفاوت میان نسخه‌ها

برای تمام نقاط مختلف از d و مسیر g که با g(x،y)=c داده شده‌اند، فرض کنیم که در طول مسیر g=c در حال [[قدم زدن]] هستیم که مسیرهای f و g می‌توانند کاملاً متفاوت باشند. بنابراین ادامه دادن از مسیر g می‌تواند مسیر f را قطع یا از آن عبور کند (مماس).

زمانیکه بردار مماس f و g موازی باشند این دو مسیر بر هم مماس می‌شوند و در این حالت گرادیان آنها بر دو مسیر عمود می‌شوند. و این مانند این گفته‌است که بگوییم گرادیان آنها با هم موازی باشد. بنابراین ما نقطه‌ای مانند (x،y) می‌خواهیم جایی که g(x،y)=c و

∇_(x،y) f=-λ. ∇_(x،y) g

 

که در آن

∇_(x،y) f=(∂f/∂x، ∂f/∂y)، ∇(x،y) g=(∂g/∂x، ∂g/∂y)

شیب‌های مربوطه می‌باشند. در اینجا به ضریب λ نیاز است زیرا هرچند که هر دو بردار گرادیان موازی هستند ولی الزاماً اندازه آنها باهم برابر نیست. با ترکیب کردن معادلات بالا در یک معادله واحد معادله کمکی زیر را بدست می‌آوریم.

 

ᴧ(x،y، λ)=f(x،y)+λ.(g(x،y)-c)

و معادله زیر را حل می‌کنیم.

 

{{پایان چپ‌چین}}

با مساوی صفر قرار دادن ∂ᴧ=0 [[دستگاه معادلات خطی]] زیر حاصل می‌شود.

∂ᴧ/∂x = 1+2 λx =0 (i)

∂ᴧ/∂y = 1+2 λy =0 (ii)

∂ᴧ/∂λ =x^2+y^2-0.5=0 (iii)

{{پایان چپ‌چین}}

{{آغاز چپ‌چین}}

x^2+y^2-0.5=0 (x=y) x^2+x^2-0.5=0

⇒x^ = ±√(1/4)=±1/2

{{پایان چپ‌چین}}

{{آغاز چپ‌چین}}

f(x,y) =f(+1/2 ,+ 1/2) = 1/2 + 1/2 = 1