ویکی‌پدیا

ضرایب لاگرانژ: تفاوت میان نسخه‌ها

نمایش تاریخچه به صورت تعاملی
→ تفاوت قدیمی‌ترتفاوت جدیدتر ←
محتوای حذف‌شده محتوای افزوده‌شده
دیداریویکی‌متن
Rezalotfi1362 (بحث | مشارکت‌ها)
۲۸ ویرایش‌ها
مجددا اصلاح صورت گرفت
Rezalotfi1362 (بحث | مشارکت‌ها)
۲۸ ویرایش‌ها
خط ۱:
'''ضرایب لاگرانژ'''، نام روشی است در [[بهینه‌سازی (ریاضیات)|بهینه‌سازی]] برای یافتن [[بیشینه و کمینه]] موضعی برای [[تابع|توابع]] با داشتن یک یا چند [[قید (ریاضی)|قید]] برابری. این روش به افتخار [[ژوزف لویی لاگرانژ]] به این نام نام‌گذاری شده‌است.
[[پرونده:LagrangeMultipliers3D.png|left|thumb|400px|
شکل ۱: یافتن مقادیر x و y برای بیشینه کردن (f(x،yx,y به شرط محدودیت نشان داده به رنگ قرمز یعنی g(x،yx,y)=c (shown in red)]]
 
به عنوان مثال در شکل ۱ [[مسئله بهینه سازیبهینه‌سازی]] را به صورت زیر در نظر بگیرید.
 
Maximize f(x،yx,y)
 
Subject to
 
g(x،yx,y)=c
 
که می‌توان تابع داده شده را بصورت زیر نوشت
f(x،yx,y)=d
 
برای تمام نقاط مختلف از d و مسیر g که با g(x،yx,y)=c داده شده‌اند، فرض کنیم که در طول مسیر g=c در حال [[قدم زدن]] هستیم که مسیرهای f و g می‌توانند کاملاً متفاوت باشند.باشند؛ بنابراین ادامه دادن از مسیر g می‌تواند مسیر f را قطع یا از آن عبور کند (مماس).
زمانیکه بردار مماس f و g موازی باشند این دو مسیر بر همبرهم مماس می‌شوند و در این حالت گرادیان آنها بر دو مسیر عمود می‌شوند.می‌شوند؛ و این مانند این گفته‌است که بگوییم گرادیان آنها با هم موازی باشد.باشد؛ بنابراین ما نقطه‌ای مانند (x،yx,y) می‌خواهیم جایی که g(x،yx,y)=c و
 
∇_(x،yx,y) f=-λ. ∇_(x،yx,y) g
 
که در آن
 
∇_(x،yx,y) f=(∂f/∂x، ∂f/∂y)، ∇(x،yx,y) g=(∂g/∂x، ∂g/∂y)
 
شیب‌های مربوطه می‌باشند. در اینجا به ضریب λ نیاز است زیرا هرچند که هر دو بردار گرادیان موازی هستند ولی الزاماً اندازه آنها باهم برابر نیست. با ترکیب کردن معادلات بالا در یک معادله واحد معادله کمکی زیر را بدست می‌آوریم.
 
ᴧ(x،y،x,y، λ)=f(x،yx,y)+λ.(g(x،yx,y)-c)
 
و معادله زیر را حل می‌کنیم.
 
∇_(x،y،x,y، λ) ᴧ(x،y،x,y، λ)=۰
 
که روش ضرایب لاگرانژ می‌باشد. توجه شود که ∇_λ ᴧ(x،y،x,y، λ)=۰ دلالت بر g(x،yx,y)=c می‌کند.
 
<span style="font-size: large;">مثال:</span>
خط ۴۱:
ᴧ(x,y,λ)=x+y+λ.(x^2+y^2-0.5
{{پایان چپ‌چین}}
با مساوی صفر قرار دادن ∂ᴧ=0۰ [[دستگاه معادلات خطی]] زیر حاصل می‌شود.
 
∂ᴧ/∂x = 1۱+2۲ λx =0 (i)
 
∂ᴧ/∂y = 1۱+2۲ λy =0 (ii)
 
∂ᴧ/∂λ =x^2+y^2-0.5=0 (iii)
{{پایان چپ‌چین}}
با ترکیب دو معادله (i) و (ii) و حل آنها نتیجه می‌شود x=y و با جایگذاری در معادله سوم خواهیم داشت.
{{آغاز چپ‌چین}}
x^2+y^2-0.5=0 (x=y) x^2+x^2-0.5=0۰
⇒2x^2۲= 1۱/2۲
⇒x^ = ±√(1۱/4۴)=±1۱/2۲
⇒(x,y)^ =(+1/2 ,+ 1/2), (x,y)^ =(-1۱/2 ۲ ,-1۱/2۲)
{{پایان چپ‌چین}}
مقادیر تابع (f(x,y به ازای دو نقطه بدست آمده عبارتند از:
{{آغاز چپ‌چین}}
f(x,y) =f(+1/2 ,+ 1/2) = 1۱/2 ۲ + 1۱/2۲ = 1۱
 
f(x,y) =f(-1/2 ,- 1/2) = -1۱/2- 1۲–۱/2۲ =-1۱
{{پایان چپ‌چین}}
که +۱ مقدار ماکزیموم و -۱ مقدار مینیمم می‌باشد.
برگرفته از «https://fa.wikipedia.org/wiki/ضرایب_لاگرانژ»