حدس گلدباخ: تفاوت میان نسخه‌ها

در سال ۱۹۳۱ اشنیرلمان (۱۹۰۵–۱۹۳۸) که در آن موقع یک ریاضیدان روس جوان و گمنام بود موفقیت مهمی در این زمینه به دست آورد که برای همه متخصصان غیرمنتظره و شگفت‌آور بود. او ثابت کرد هر [[عدد صحیح]] مثبت را می‌توان به صورت مجموع حداکثر ۳۰۰۰۰۰۳۰۰۰ عدد اول نمایش داد. گر چه این نتیجه در مقایسه با [[هدف اصلی]] یعنی اثبات انگارهٔ گلدباخ مضحک به نظر می‌رسد، ولی این نخستین گام در آن جهت بود. این [[اثبات مستقیم]] و سازنده است، اما هیچ روش خاصی برای تجزیه یک عدد صحیح دلخواه به اعداد اول ارائه نمی‌کند.

بعداً وینوگرادوف ریاضیدان روس با استفاده از روش‌های [[گادفری هارولد هاردی|هاردی]]، لیتلوود و همکار هندی برجسته آن‌ها [[سرینیواسا رامانوجان|رامانوجان]] در نظریه تحلیلی اعداد، موفق شد تعداد عددهای اول مورد لزوم را از ۳۰۰۰۰۰۳۰۰۰ به چهار کاهش دهد. این نتیجه به تعداد مطلوب در انگاره گلدباخ بسیار نزدیکتر است ولی تفاوت عمده‌ای بین حکم اشنیرلمان و حکم وینوگرادوف وجود دارد که شاید مهم‌تر از اختلاف میان ۳۰۰۰۰۰ و ۴ باشد. قضیه وینوگرادوف فقط به ازای همه [[اعداد صحیح]] به اندازه کافی بزرگ ثابت شده است؛ به بیان دقیقتر، او ثابت کرد عدد صحیح N وجود دارد به‌طوری‌که هر عدد صحیح n>N را می‌توان به شکل مجموع حداکثر ۴ عدد اول نشان داد. اثبات وینوگرادوف راهی برای برآورد کردن N به ما نشان نمی‌دهد، و بر خلاف اثبات اشنیرلمان، اساساً غیرمستقیم و غیرسازنده است. در حقیقت، چیزی که وینوگرادوف ثابت کرد این است که فرض نامتناهی بودن تعداد عددهای صحیحی که قابل تجزیه به حداکثر چهار عدد اول نیستند، به نتیجه نامعقولی می‌انجامد. در اینجا با نمونه خوبی از تفاوت عمیق میان دو نوع اثبات، مستقیم و غیرمستقیم، رو به روییم.