تفاوت میان نسخه‌های «تابع توزیع تجمعی»

جز (ربات: جایگزینی پیوند جادویی شابک با الگو شابک)
برچسب: متن دارای ویکی‌متن نامتناظر
 
== خواص تابع توزیع تجمعی ==
تمام توابع*تابع توزیع تجمعی صعودیبرای (ولیمتغیر نهتصادفی لزوماًگسسته صعودیبه اکید)این وشکل ازتعریف راستمی پیوستهشود هستند.:
 
<math display = "block">
<math>\lim_{x\to -\infty}F(x)=0, \quad \lim_{x\to +\infty}F(x)=1.</math><ref name="en.wikipedia.org"/>
F_X(x) =
P
(X\le
x)=
\sum_{
t \le x
}
f(t)
</math>
 
<gallery heights= 350 widths=350 style="text-align:center">
Discrete CDF.jpg|نمودار تابع توزیع تجمعی برای متغیر تصادفی گسسته
</gallery>
 
 
*تعریف تابع توزیع تجمعی برای متغیر تصادفی پیوسته به این شکل می شود :
<math display="block">
F_X(x) =
P
(X\le
x)=
\int_{
t \le x
}
f(t)
dt
</math>
 
 
 
*تمام توابع توزیع تجمعی صعودی (ولی نه لزوماً صعودی اکید) و از راست پیوسته هستند.
 
 
*<math>0 \le F_X(x) \le 1</math>
 
 
*<math>\lim_{x\to -\infty}F(x)=0 </math>
 
 
*<math>\lim_{x\to +\infty}F(x)=1</math><ref name="en.wikipedia.org"/>
 
 
 
 
 
* اگر <math>x_1 \le x_2</math> باشد ، آنگاه :
<math display="block">F_X(x_1) \le F_X(x_2)</math>
 
 
*<math>
P(X >x) = 1- F_X(x)
</math>
 
 
*<math>P(x_1<x \le x_2)
= F_X(x_2) - F_X(x_1)
</math>
 
 
*اگر M میانه داده ها باشد داریم :
<math display="block">
F_X(M) =
\int_{-\infty}^{M}
f(x)
dx
=
\frac{1}
{2}
</math>
 
 
و همان تعریف میانه است که نیمی از داده ها مقداری کمتر از M دارند .<ref>https://www.math.vt.edu/people/qlfang/class_home/Lesson2021.pdf</ref>
 
 
==مثال==
فرض کنید X یک متغیر تصادفی پیوسته است که تابع چگالی احتمال آن به این شکل تعریف شده باشد <ref>https://newonlinecourses.science.psu.edu/stat414/node/98/</ref>:
 
 
<math display="block">
f(x) =
\begin {cases}
0 & x\le -1 \\ \\
x + 1 & -1 < x \le 0\\ \\
1 - x & 0 < x < 1 \\ \\
0 & x \ge 0
\end{cases}
</math>
 
 
نمودار چگالی احتمال این متغیر تصادفی به شکل زیر خواهد بود :
 
<gallery heights=300 widths=300 style="text-align:center">
example.pdf.jpg|نمودار تابع چگالی احتمال
</gallery>
با انتگرال گیری از تابع چگالی احتمال در هر بازه تابع توزیع تجمعی آن را به دست می آوریم و خواهیم داشت :
 
 
<math display="block">
F(x) =
\begin {cases}
0 & x\le -1 \\ \\
\frac{1}{2}(x + 1)^{2} & -1 < x \le 0\\ \\
1-\frac{(1-x)^2}{2} & 0 < x < 1 \\ \\
1 & x \ge 0
\end{cases}
</math>
 
 
<gallery heights=300 widths=300 style="text-align:center" >
example.cdf.jpg|نمودار تابع توزیع تجمعی
</gallery>
 
==تابع توزیع تجمعی برای چند توزیع==
در این قسمت تابع توزیع تجمعی چند توزیع معروف و نمودار توزیع تجمعی آن ها را بررسی می کنیم :
 
 
===توزیع طبیعی استاندارد===
تابع چگالی احتمال [[توزیع طبیعی|توزیع طبیعی استاندارد]] برای {{math|ℝ}} <math>x \in </math> به شکل زیر تعریف می شود :
<math display="block">
f(x) =
\frac
{1}
{\sqrt{2\pi}}
e^{\frac{-x^2}
{2}}
</math>
و تابع توزیع تجمعی آن برابر است با :
 
<math display = "block">
F(x) =
\int
f(x)dx =
\int
\frac
{1}
{\sqrt{2\pi}}
e^{\frac{-x^2}
{2}} =
{\frac 12}\left(1+{\mathrm {erf}}\,{\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt 2}}}\right)\!
</math>
 
====نمودار====
<gallery heights=400 widths=400 style="text-align:center" >
StandardNormal.cdf.jpg|نمودار تابع توزیع تجمعی توزیع طبیعی استاندارد
</gallery>
===توزیع پواسون===
تابع چگالی احتمال [[توزیع پواسون]] برای {1,2,3,...} <math> k \in </math> و <math>\lambda \in (0,\infty)</math> به شکل زیر تعریف می شود:
 
<math display="block">
f(x) =
{\displaystyle {\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k}}{k!}}\!}
</math>
و تابع توزیع تجمعی آن برابر است با :
 
<math display = "block">
F(x) =
\int
f(x)dx =
\int
{\displaystyle {\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k}}{k!}}\!} =
{\displaystyle {\frac {\Gamma (k+1,\lambda )}{k!}}\!}
 
</math>
 
====نمودار====
<gallery heights=400 widths=400 style="text-align:center" >
Poisson.cdf.jpg|نمودار تابع توزیع تجمعی توزیع پواسون
</gallery>
 
 
===توزیع نمایی===
تابع چگالی احتمال [[توزیع نمایی]] برای <math>x \ge 0</math> به شکل زیر تعریف می شود :
<math display ="block">
f(x) =
\lambda e^{- \lambda x}
</math>
 
و تابع توزیع تجمعی آن برابر است با :
 
 
<math display = "block">
F(x) =
\int
f(x)dx =
\int
\lambda e^{- \lambda x} =
1 - e^{- \lambda x}
</math>
 
====نمودار====
<gallery heights=390 widths=390 style="text-align:center" >
Exponential.cdf.jpg|نمودار تابع توزیع تجمعی توزیع نمایی
</gallery>
 
== منابع ==
۱۲۴

ویرایش