تفاوت میان نسخه‌های «واریانس»

۲۰۱ بایت اضافه‌شده ،  ۱ سال پیش
بدون خلاصه ویرایش
برچسب: افزودن تگ‌های خالی
اگر <math>\mu= \operatorname{E}(X)</math>، [[امید ریاضی]] ([[میانگین]]) [[متغیر تصادفی]] X باشد، آنگاه وردایی X برابر خواهد بود با:
<center>
:<math>\operatornamebegin{Varalign}(X) = \operatorname{EVar}[ ( X - \mu ) ^ 2 ]\,</math>
</center>
<center>
: <math>\begin{align}\operatorname{Var}(X)
&= \operatorname{E}[(X - \mu)^2] \\&= \operatorname{E}[X^2 - 2\mu X + \mu^2] \\
&= \operatorname{E}[X^2] - 2\mu\,\operatorname{E}[X] + \mu^2 \\&= \operatorname{E}[X^2] - 2\mu^2 + \mu^2 \\&= \operatorname{E}[X^2] - \mu^2 \\&= \operatorname{E}[X^2] - (\operatorname{E}[X])^2.
\end{align}</math>
</center>برای به خاطر سپردن راحت‌تر این فرمول گفته‌می‌شود وردایی برابر است با «[[میانگین]] مجذور، منهای مجذور میانگین». وردایی متغیر تصادفی ''X'' را معمولاً با Var(''X''){{چر}} یا <math>\scriptstyle\sigma_X^2</math> یا به صورت ساده‌تر σ<sup>2</sup> (تلفظ می‌شود [[سیگما]]-دو) نمایش می‌دهند.
</center>
 
برای به خاطر سپردن راحت‌تر این فرمول گفته‌می‌شود وردایی برابر است با «[[میانگین]] مجذور، منهای مجذور میانگین». وردایی متغیر تصادفی ''X'' را معمولاً با Var(''X''){{چر}} یا <math>\scriptstyle\sigma_X^2</math> یا به صورت ساده‌تر σ<sup>2</sup> (تلفظ می‌شود [[سیگما]]-دو) نمایش می‌دهند.
 
=== حالت گسسته ===
=== حالت پیوسته ===
<center>
: <math>\begin{align}\operatorname{Var}(X)
:<math> \operatorname{Var}(X) = \sigma^2 &= \int (x-\mu)^2 \, f(x) \, dx \,,</math>\[4pt]
&= \int x^2f(x)\,dx -2\mu\int xf(x)\,dx + \int \mu^2 f(x)\,dx \\[4pt]
&= \int x^2 \,dF(x) - 2 \mu \int x \,dF(x) + \mu^2 \int \,dF(x) \\[4pt]
&= \int x^2 \,dF(x) - 2 \mu \cdot \mu + \mu^2 \cdot 1 \\[4pt]
&= \int x^2 \,dF(x) - \mu^2,
\end{align}</math>
</center>
و