تفاوت میان نسخه‌های «تابع»

۵۵ بایت حذف‌شده ،  ۱ سال پیش
جز
ویرایش به‌وسیلهٔ ابرابزار:
برچسب‌ها: متن دارای ویکی‌متن نامتناظر ویرایش‌گر دیداری
جز (ویرایش به‌وسیلهٔ ابرابزار:)
تابع به عنوان مفهومی در ریاضیات، توسط [[گوتفرید لایبنیتس]] در سال [[۱۶۹۴ (میلادی)|۱۶۹۴]]، با هدف توصیف یک کمیت در رابطه با یک [[منحنی]] مانند [[شیب]] یک نمودار در یک [[نقطه]] خاص به‌وجود آمد. امروزه به توابعی که توسط [[گوتفرید لایبنیتس]]<nowiki/>تعریف شدند، [[مشتق|توابع مشتق‌پذیر]] می‌گوییم.
 
واژه‌یواژهٔ تابع بعدها توسط [[لئونارد اویلر]] در [[قرن هجدهم]]، برای توصیف یک گزاره یا فرمول شامل متغیرهای گوناگون مورد استفاده قرار گرفت، مانند ''f''(''x'') = sin(''x'') + ''x''<sup>3</sup>.
 
در طی قرن نوزدهم، ریاضی‌دانان شروع به فرمول‌بندی تمام شاخه‌های ریاضی براساس [[نظریه مجموعه‌ها]] کردند. [[وایراشتراس]] بیشتر خواهان به‌وجود آمدن حساب دیفرانسیل و انتگرال در [[ریاضی|علم حساب]] بود تا در [[هندسه]]، یعنی بیشتر طرفدار تعریف اویلر بود.
 
در ابتدا، ایده‌یایدهٔ تابع ترجیحاً محدود شد. [[ژوزف فوریه]] مدعی بود که تمام توابع از [[سری فوریه]] پیروی می‌کنند در حالی که امروزه با گسترش تعریف توابع، ریاضی‌دانان توانستند به مطالعه‌یمطالعهٔ توابعی در ریاضی بپردازند که که در سراسر دامنه‌یدامنهٔ خود پیوسته ولی در هیچ نقطه‌ای مشتق‌پذیر نیستند این گونه توابع توسط [[وایراشتراس]] معرفی شدند. کشف چنین توابعی موجب شد تا توابع تنها به [[توابع پیوسته]] و مشتق‌پذیر محدود نشوند.
 
تا انتهای [[قرن نوزدهم]] ریاضی‌دانان در هر موضوع ریاضی به دنبال تعریفی بودند که براساس نظریه مجموعه‌ها و نتایج آن باشد. [[دیریکله]] و [[لوباچوسکی]] هر یک به‌طور مستقل هم‌زمان تعریف «رسمی» از تابع ارائه دادند.
 
بر طبق این تعریف، [[تابع حالت|تابع، حالت]] خاصی از یک [[رابطه]] است که در آن برای هر مقدار اولیه یک مقدار ثانویه‌یثانویهٔ منحصربه‌فرد وجود دارد.
 
تعریف تابع در [[علم رایانه]]، به عنوان حالت خاصی از یک رابطه، به‌طور گسترده‌تر در [منطق] است.
 
== در دیگر دانش‌ها ==
تابع‌ها در شاخه‌های گوناگون دانش کاربرد فراوان دارند. برای نمونه در [[فیزیک]]، هنگامی که می‌خواهیم رابطه‌یرابطهٔ بین چند متغیر را بیان کنیم، به ویژه هنگامی که مقدار یک متغیر کاملاً وابسته به متغیرهای دیگر است، از تابع بهره می‌بریم.
 
تابع در دانش‌های گوناگون بیشتر به عنوان عملگر است که کاری را بر روی داده‌های ورودی انجام می‌دهد. تابع را همچنین مورد استفاده در [[علم رایانه]] برای مدل‌سازی [[ساختمان داده]]‌ها و تأثیرات [[الگوریتم لگاریتم پورممی ]] نمی‌بینیم.
 
== تعریف تابع ==
تابع را می‌توان به عنوان قاعده‌ای خاص برای تناظر بین اعضای دو مجموعهٔ [[دامنه]] و [[برد (ریاضی)|برد]] تعریف کرد. به بیان دقیق‌تر، اگر <math>A</math> و <math>B</math> دو مجموعه باشند، یک تابع از مجموعهٔ <math>A</math> به مجموعهٔ <math>B</math> را می‌توان قاعده‌ای تعریف کرد که به هر عضو مجموعه‌یمجموعهٔ <math>A</math> مانند <math>a</math>، یک و فقط یک عضو از مجموعه‌یمجموعهٔ <math>B</math> را مانند <math>f(a)</math> نسبت می‌دهد. تابع <math>f</math> از مجموعه‌یمجموعهٔ <math>A</math> به مجموعه‌یمجموعهٔ <math>B</math> را با <math>f:A\to B</math> نشان می‌دهیم.
 
[[پرونده:Multivalued function.svg|بندانگشتی|شکل ۱. نمونه‌ای از یک تناظر که تابع نیست.]]
[[پرونده:Total function.svg|بندانگشتی|چپ|شکل ۲. نمونه‌ای از یک تابع]]
برای نمونه تناظر شکل ۱ نمایش‌دهنده‌ینمایش‌دهندهٔ یک تابع نمی‌باشد. چراکه عضو ۳ از مجموعه <math>X</math> به ''دو عضو'' (<math>b</math> و <math>c</math>) از <math>Y</math> متناظر شده‌است. اما شکل ۲ نشان دهنده یک تابع است. هر چند که دو عضو گوناگون از مجموعه <math>X</math> به یک عضو خاص از <math>Y</math> نسبت داده شده‌اند.
 
تابع <math>f</math> به عنوان هنجار تناظر، چیزی بجز توصیف نحوه‌ینحوهٔ تناظر اعضای <math>A</math> به <math>B</math> نیست که به‌طور کامل به‌وسیله همه [[زوج مرتب|زوج‌های مرتب]] <math>(a,f(a))</math> برای هر <math>a \in A</math> مشخص می‌شود. پس تابع <math>f</math> را می‌توان به عنوان '''مجموعه‌ی''' همه این زوج‌های مرتب، یعنی مجموعه‌یمجموعهٔ همه زوج‌های مرتبی که مؤلفه اول آن‌ها عضو <math>A</math> بوده و مؤلفه دوم آن‌ها تصویر مؤلفه اول تحت تابع <math>f</math> در <math>Y</math> است، تعریف کرد. شرط تابع بودن تضمین می‌کند که هیچ دو زوج متمایزی در تابع <math> f</math> دارای مؤلفه‌یمؤلفهٔ اول یکسان نخواهند بود.
 
در این صورت در تابع <math>f:A \to B</math> برای هر <math>a \in A</math> گزاره‌یگزارهٔ <math>(a,b) \in f</math> را به صورت <math>b=f(a)</math> نشان می‌دهیم.
 
=== تعریف دقیق ===
 
== مشخص کردن تابع ==
برای مشخص کردن یک تابع باید ''دامنه'' و ''ضابطه‌ی'' آن را بشناسیم. منظور از ''ضابطه یک تابع''<math> f:X \to Y</math>، فرمول یا دستوری است که برطبق آن برای هر <math>x \in X</math>، مقدار تابع <math>f</math> در <math>x</math> یعنی <math>f(x)</math> تعیین می‌شود. ضابطه‌یضابطهٔ تابع را می‌توان به صورت یک گزاره‌یگزارهٔ جبری، مجموعه‌ای از [[زوج مرتب|زوج‌های مرتب]] یا یک [[رابطه بازگشتی|رابطه‌یرابطهٔ بازگشتی]] مشخص کرد.
 
به این ترتیب برای مشخص کردن یک تابع از مجموعه <math>X</math> به مجموعه <math>Y</math> می‌نویسیم <math>f:X \to Y</math> و سپس ضابطه آن را ذکر می‌کنیم.
اما همان‌طور که در گذشته نیز اشاره شد و از تعریف فوق نیز قابل برداشت است، برد f در حالت کلی لزوماً برابر مجموعه Y نمی‌باشد بلکه زیرمجموعه‌ای از آن است. برای تمایز بین مجموعه Y و برد تابع f به مجموعه Y ''[[همدامنه]]'' تابع f می‌گویند و آن را با codom''f'' نشان می‌دهیم و بنا بر آنچه گفته شد، برد تابع زیرمجموعه‌ای از همدامنه‌اش هست.
 
به عنوان مثال فرض کنید {X={۱٬۲٬۳ و {Y={a,b,c,d و تابع f:X→Y به صورت {(f={(۱,a),(2,b),(۳3,c تعریف شده باشد. وضوحاً دامنه این تابع مجموعه X است (می‌توان برای تعیین آن مجموعه همه مؤلفه‌های اول زوج‌های مرتب f را در نظر گرفت) ولی برد آن بنابه تعریف مجموعه {a,b,c} است که آشکارا زیرمجموعه حقیقی Y است. (یعنی زیرمجموعه آن است ولی با آن برابر نمی‌باشد)
 
در حقیقت برد تابع f مجموعه همه مؤلفه‌های دوم زوج مرتب‌های f است. مجموعه همه عناصری از Y که به ازای یکx∈X داشته باشیم (y=f(x.