مشتق: تفاوت میان نسخه‌ها

'''تعبیر هندسی مشتق‌پذیری:''' تابع <math>f \!</math> در <math>x = a \!</math> مشتق‌پذیر است هرگاه بتوان در این نقطه یک خط کامل مماس و غیر موازی با محور yها بر منحنی رسم کرد.

اگر تابع <math>f \!</math> در نقطهٔ <math>a \!</math> مشتق‌پذیر باشد، آنگاه در آن نقطه پیوسته نیز هست.

ولی عکس قضیهٔ فوق صحیح نمی‌باشد یعنی ممکن است تابع پیوسته باشد اما مشتق‌پذیر نباشد؛ به عبارت دیگر، پیوستگی تابع در <math>x = a \!</math> شرط لازم برای مشتق‌پذیری تابع است، نه شرط کافی. پس اگر تابع <math>f \!</math> در <math>a \!</math> ناپیوسته باشد، آنگاه در <math>a \!</math> مشتق‌پذیر نیست.<ref>{{Citation|author=Banach, S.|title=Uber die Baire'sche Kategorie gewisser Funktionenmengen|journal=Studia. Math.|issue=3|year=1931|pages=174–179|postscript=.}}. Cited by {{Citation|author1=Hewitt, E |author2=Stromberg, K|title=Real and abstract analysis|publisher=Springer-Verlag|year=1963|pages=Theorem 17.8|nopp=true}}</ref>

منظور از دامنهٔ تابع مشتق مجموعهٔ نقاطی است که تابع در آن‌ها مشتق‌پذیر است. به‌طور کلی برای تابع <math>f \!</math> داریم:

:<math>f'_g = \cfrac{\operatorname df}{\operatorname dg} = \cfrac{\cfrac{\operatorname df}{\operatorname dx}}{\cfrac{\operatorname dg}{\operatorname dx}} = \cfrac{f'_x}{g'_x}</math>

:<math>y'_x = \cfrac{\operatorname dy}{\operatorname dx} = \cfrac{\cfrac{\operatorname dy}{\operatorname dt}}{\cfrac{\operatorname dx}{\operatorname dt}} = \cfrac{y'_t}{x'_t} = \cfrac{g'(t)}{f'(t)}</math>

اگر تابع <math>g \!</math> در نقطهٔ <math>a \!</math> و تابع <math>f \!</math> در <math>g (a) \!</math> مشتق‌پذیر باشد، آنگاه تابع <math>f \circ g \!</math> نیز در <math>a \!</math> مشتق‌پذیر است و داریم:

به بیان دیگر، هرگاه <math>y \!</math> تابعی از <math>u \!</math> و <math>u \!</math> تابعی از <math>x \!</math> باشد، برای بدست آوردن مشتق <math>y \!</math> نسبت به <math>x \!</math>، مشتق <math>y \!</math> نسبت به <math>u \!</math> را در مشتق <math>u \!</math> نسبت به <math>x \!</math> ضرب می‌کنیم.

:<math>\frac {\operatorname dy}{\operatorname dx} = \frac {\operatorname dy}{\operatorname du} \cdot\frac {\operatorname du}{\operatorname dx}</math>

همچنین به شکل دیگری برای توابع <math>f \!</math>، <math>y \!</math> و <math>u \!</math> داریم:

اگر <math>f \!</math> تابعی پیوسته در بازهٔ <math>I \!</math> شامل نقطهٔ <math>a \!</math> باشد، آنگاه تابع <math>F \!</math> با دامنهٔ <math>I \!</math> و با ضابطهٔ:

مشتق جزئی، پاره‌ای یا نسبی، به مشتق تابع چند متغیرهٔ <math>f (x_1 , x_2 , \ldots , x_n) \!</math> نسبت به یکی از متغیرها با ثابت در نظر گرفتن سایر متغیرها گفته می‌شود. مشتق جزئی را به جای <math>\operatorname d \!</math> با <math>\partial \!</math> نمایش می‌دهند که «دِل»، «دِر» یا «پارشال» خوانده می‌شود. برای مثال، مشتق جزئی تابع <math>f (x , y) \!</math> نسبت به <math>x \!</math> به صورت زیر نوشته می‌شود:

به‌طور کلی، حاصل حد زیر، در صورت وجود برابر مشتق جزئی تابع چند متغیرهٔ <math>f \!</math> نسبت به <math>x_i \!</math> در <math>(x_1 , x_2 , \ldots , x_n) \!</math> است:

مشتق جزئی تابع <math>f (x , y , z) \!</math> میزان تغییرات <math>f \!</math> را در امتداد محورهای مختصات به دست می‌دهد در حالیکه مشتق جهت‌دار، سویی یا جهتی، میزان تغییرات <math>f \!</math> را در امتداد یک بردار دلخواه در فضا حساب می‌کند. اگر <math>f \!</math> در همسایگی نقطهٔ <math>P_0 = (x_0 , y_0 , z_0) \!</math> تعریف شده باشد و <math>\vec{l} \!</math> برداری شامل نقطهٔ <math>P_0 \!</math> باشد، مشتق جهت‌دار <math>f \!</math> در <math>P_0\!</math> به صورت زیر محاسبه می‌شود:

که در آن نقطهٔ <math>P \!</math> باید متعلق به <math>\vec{l} \!</math> باشد و <math>|P_0 P|_s \!</math> فاصلهٔ علامت‌دار <math>P_0 \!</math> تا <math>P \!</math> است یعنی اگر <math>\vec{P_0P} \!</math> و <math>\vec {l} \!</math> هم‌جهت باشند <math>|P_0 P| \!</math> و در غیر این صورت <math>- |P_0 P| \!</math> در نظر گرفته می‌شود.

مشتق تابع برداری <math>f = \left (f_1 , f_2 , \ldots , f_n \right) \!</math> با فرض اینکه مؤلفه‌های سمت راست بامعنی باشند، به صورت زیر تعریف می‌شود:

تابع <math>f \!</math> بر بازهٔ <math>(a , b) \!</math> پیوسته و مشتق‌پذیر است، هرگاه تک تک مؤلفه‌های <math>f \!</math> بر بازهٔ <math>(a , b) \!</math> پیوسته و مشتق‌پذیر باشند. با توجه به این تعریف، بسیاری از قضایای مشتق توابع حقیقی برای توابع برداری نیز صادق‌اند.

:<math>u = xi + yj = f(t) i + g(t) j \; \Rightarrow \; \frac{\operatorname du}{\operatorname dt} = \frac{\operatorname dx}{\operatorname dt}i + \frac{\operatorname dy}{\operatorname dt}j = f'(t)i + g'(t)j \!</math>

هرگاه <math>f \!</math> تابعی از <math>R^n \!</math> به <math>R^m \!</math> باشد، آنگاه مشتق جهت‌دار <math>f \!</math> در یک جهت بخصوص، بهترین تقریب خطی <math>f \!</math> در آن نقطه و جهت است. اما هرگاه <math>n> 1 \!</math> باشد، دیگر مشتق جهت‌دار نمی‌تواند به تنهایی، تصویر کاملی از رفتار تابع نشان دهد. مشتق کل، که دیفرانسیل کل نیز نامیده می‌شود با در نظر گرفتن رفتار تابع در تمام جهت‌ها می‌تواند تصویر کاملی از رفتار تابع ارائه کند.

برخلاف مشتق جزئی، در محاسبهٔ مشتق کل تابع <math>f (t , x , y) \!</math> نسبت به متغیر <math>t \!</math>، متغیرهای دیگر ثابت در نظر گرفته نمی‌شوند بلکه به <math>t \!</math> بستگی خواهند داشت و مشتق کل به صورت زیر تعریف می‌شود:

:<math>\frac{\operatorname df}{\operatorname dt}=\frac{\partial f}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\operatorname dx}{\operatorname dt} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\operatorname dy}{\operatorname dt}</math>

مشتق کل در [[حساب دیفرانسیل]] با مفهومی مشابه، به یک [[عملگر دیفرانسیلی]] نیز گفته می‌شود. این عملگر دیفرانسیلی، مشتق کل تابع را نسبت <math>x \!</math> به صورت زیر محاسبه می‌کند:

:<math>\frac{\operatorname d}{\operatorname dx}= \frac{\partial }{\partial x}+\sum_{j=1}^k \frac{\operatorname dy_j}{\operatorname dx}\frac{\partial }{\partial y_j}</math>

اگر تابع <math>f \!</math> در همسایگی نقطهٔ <math>a \!</math> پیوسته و یک به یک بوده و <math>f'(a) \!</math> موجود و غیر صفر باشد، آنگاه تابع <math>f^{-1} \!</math> در نقطهٔ <math>b = f (a) \!</math> مشتق‌پذیر است و داریم:

'''تعبیر هندسی:''' شیب خط مماس بر منحنی <math>f^{-1} \!</math> در نقطهٔ <math>M' (b , a) \!</math> برابر است با عکس شیب خط مماس بر منحنی <math>f \!</math> در نقطهٔ <math>M (a , b) \!</math>. (نقاط <math>M \!</math> و <math>M' \!</math> متناظر هستند)

اگر تابع <math>f \!</math> روی بازهٔ <math>I \!</math> مشتق‌پذیر باشد تابع <math>f' \!</math> خود ممکن است در نقطه‌ای مثل <math>a \!</math> مشتق‌پذیر باشد. به عبارتی اگر <math>f''(a) = \lim_{h \to 0}\frac{f'(a + h) - f'(a)}{h}</math> موجود باشد، می‌گوییم مشتق مرتبهٔ دوم تابع <math>f \!</math> در <math>a \!</math> موجود است و آن را با <math>f''(a) \!</math> نمایش می‌دهیم.

مشتق <math>n \!</math>ام چند تابع مهم نسبت به <math>x \!</math> که <math>a \!</math> و <math>b \!</math> اعداد ثابت هستند:

قاعدهٔ لایبنیتس بیان می‌کند که اگر دو تابع <math>f \!</math> و <math>g \!</math> روی بازهٔ <math>(a , b) \!</math> دارای مشتق‌های متوالی تا مرتبهٔ <math>n \!</math> باشند، آنگاه حاصل‌ضرب <math>f.g \!</math> نیز روی این بازه دارای مشتق‌های متوالی تا مرتبهٔ <math>n \!</math> است و داریم:

اگر تابع <math>f \!</math> روی <math>[a , b] \!</math> پیوسته، روی بازهٔ <math>(a , b) \!</math> مشتق‌پذیر و <math>f (a) = f (b) \!</math> باشد آنگاه حداقل یک نقطهٔ <math>c \!</math> در بازهٔ <math>(a , b) \!</math> وجود دارد که در آن <math>f'(c) = 0 \!</math> است. عدد <math>c \!</math> با خاصیت فوق منحصر به فرد نیست و باید یک نقطهٔ درونی بازهٔ <math>(a , b) \!</math> باشد.

'''حالت خاص قضیهٔ رول:''' اگر فرض کنیم <math>f (a) = f (b) = 0 \!</math> با استفاده از قضیهٔ رول می‌توان گفت که بین هر دو ریشهٔ تابع مشتق‌پذیر <math>f \!</math> مشتقِ تابع یعنی <math>f' \!</math> حداقل یک ریشه دارد.<ref>حساب دیفرانسیل و انتگرال (جلد اول)، دکتر مسعود نیکوکار و بهمن عرب زاده، تهران، انتشارات آزاده، ۱۳۸۲، {{شابک|964-8020-47-7}}</ref>

قضیهٔ کوشی که صورت تعمیم یافتهٔ قضیهٔ لاگرانژ است، بیان می‌کند که هرگاه توابع <math>f \!</math> و <math>g \!</math> روی بازهٔ <math>[a , b] \!</math> پیوسته و روی بازهٔ <math>(a , b) \!</math> مشتق‌پذیر باشند، آنگاه حداقل یک نقطهٔ <math>c \!</math> در بازهٔ <math>(a , b) \!</math> وجود دارد که در آن:

[[پرونده:Fa derivative7.svg|بندانگشتی|خط مماس بر منحنی از نقطهٔ <math>A (x_{0} , y_{0}) \!</math> خارج از منحنی]]

معادلهٔ خط مماس بر منحنی از نقطه‌ای خارج از منحنی: اگر بخواهیم از نقطهٔ <math>A (x_{0} , y_{0}) \!</math> مماسی بر منحنی رسم کنیم، نقطهٔ تماس را <math>M (a , f (a)) \!</math> در نظر می‌گیریم، چون نقطهٔ <math>M \!</math> روی منحنی قرار گرفته از منحنی مشتق می‌گیریم و مختصات <math>M \!</math> را قرار می‌دهیم تا شیب معادله بدست آید.

در نهایت چون نقطهٔ <math>A (x_{0} , y_{0}) \!</math> روی خط مماس قرار دارد، در معادلهٔ فوق قرار داده تا یک معادلهٔ یک مجهولی بر حسب <math>a \!</math> بدست آید.

آهنگ متوسط تغییرات <math>f \!</math> در فاصلهٔ <math>[a , b] \!</math> عبارت است از:

آهنگ متوسط تغییرات <math>f \!</math> نسبت به متغیر <math>x \!</math> عبارت است از:

اگر <math>\Delta x \to 0 \!</math> تغییرات <math>f \!</math> نسبت به تغییرات <math>x \!</math> را آهنگ آنی (لحظه‌ای) تغییر <math>f \!</math> نسبت به <math>x \!</math> گویند.

نقطهٔ درونی <math>c \in D_f \!</math> را [[نقطه بحرانی (ریاضیات)|نقطهٔ بحرانی]] تابع <math>f \!</math> گویند هرگاه <math>f'(c) = 0 \!</math> یا <math>f'(c) \!</math> موجود نباشد. ریشه‌های مشتق، نقاط بازگشتی، زاویه‌دار، ناپیوستگی و عطف قائم، همگی جزو نقاط بحرانی تابع محسوب می‌شوند و نقاط ابتدا و انتها بازه به دلیل اینکه نقاط درونی بازه نیستند جزو نقاط بحرانی محسوب نمی‌شوند.

در ضمن، اگر تابع <math>f \!</math> روی <math>[a , b] \!</math> تعریف شده باشد و نقطهٔ <math>c \!</math> درون این بازه، اکسترمم مطلق تابع روی این بازه باشد، آنگاه <math>c \!</math> نقطهٔ بحرانی <math>f \!</math> است. هر نقطهٔ اکسترمم نسبی <math>f \!</math> نقطهٔ بحرانی <math>f \!</math> نیز هست، در صورتی‌که یک نقطهٔ بحرانی ممکن است نقطهٔ اکسترمم نسبی نباشد.

اگر تابع <math>f \!</math> روی بازهٔ <math>(a , b) \!</math> پیوسته باشد برای بدست آوردن مقادیر <math>\max \!</math> و <math>\min \!</math> مطلق ابتدا نقاط بحرانی را در بازه مشخص کرده و در تابع اصلی قرار می‌دهیم سپس <math>\lim_{x \to a^{+}} f (x) \!</math> و <math>\lim_{x \to b^{-}} f (x) \!</math> را نیز بدست می‌آوریم و با مقایسهٔ اعداد بدست آمده، اگر کم‌ترین یا بیش‌ترین مقدار مربوط به حدهای فوق باشد تابع فاقد <math>\max \!</math> یا <math>\min \!</math> مطلق است. در غیر این صورت <math>\max \!</math> یا <math>\min \!</math> مطلق را مشخص می‌کنیم.

اگر در بازهٔ فوق نقطه‌ای مثل <math>c \!</math> وجود داشته باشد که تابع در آن نقطه ناپیوسته باشد، می‌بایست <math>\lim_{x \to c^{+}} f (x) \!</math> و <math>\lim_{x \to c^{-}} f (x) \!</math> را نیز بدست آورد و مانند موارد بالا وجود <math>\max \!</math> یا <math>\min \!</math> را بررسی کرد.<ref>{{یادکرد کتاب | نام خانوادگی = Stewart| نام =James | عنوان = Calculus: Early Transcendentals| سال = 2008| ناشر = Brooks/Cole| شابک = 0-495-01166-5}}</ref>

در تابع پیوستهٔ <math>f \!</math>، برای هر <math>x \in I \!</math> اگر <math>f'(x)> 0 \!</math> آنگاه <math>f \!</math> روی <math>I \!</math> صعودی اکید است و اگر <math>f'(x) <0 \!</math> آنگاه <math>f \!</math> روی <math>I \!</math> نزولی اکید است؛ ولی اگر <math>f'(x) \ge 0 \!</math> باشد، تابع <math>f \!</math> ممکن است صعودی غیر اکیدغیراکید یا صعودی اکید باشد و اگر <math>f'(x) \le 0 \!</math> باشد، تابع <math>f \!</math> ممکن است نزولی غیر اکیدغیراکید یا نزولی اکید باشد.

در این حالت برای تشخیص اکید یا غیر اکید بودن تابع <math>f \!</math> ریشه‌های مشتق را بدست می‌آوریم، اگر ریشه‌های مشتق، تمام نقاط روی یک بازه باشند، تابع صعودی غیر اکید است و در غیر این حالت صعودی اکید است.

اگر تابع <math>f \!</math> پیوسته نباشد، دامنهٔ تابع را به فاصله‌هایی که تابع در آن‌ها پیوسته است، تقسیم می‌کنیم و به کمک مشتق وضعیت یکنوایی تابع را در هر بازه مشخص می‌کنیم. سپس نقاط انتهایی هر بازه (یا حد انتهایی هر بازه) را با نقاط ابتدایی بازهٔ بعد (یا حد ابتدایی بازهٔ بعد) مقایسه می‌کنیم.