باز کردن منو اصلی

تغییرات

۱۲۸ بایت اضافه‌شده ،  ۵ ماه پیش
جز
 
<!-- آپولونیوس-->
نام [[آپولونیوس]] (اواخر قرن سوم {{--}} اوایل قرن دوم [[پیش از میلاد]]) برای قرن‌ها پس از مرگ او با مطالعهٔ مقاطع مخروطی گره خورده بود. آپولونیوس اثر مهمش «''مخروطات''» را، که مشتمل بر هشت مقاله است،<ref name="ReferenceA">{{پکه| هوخندایک | امینی | ۱۳۹۲ | pp=۸۶–۹۸}}</ref> با مطالعهٔ [[مخروط]] آغاز می‌کند و پس از تعریف سه مقطع مخروطی ([[سهمی]]، [[هذلولی]]، و بیضی)، به تعریف [[خط مماس]] آن‌ها می‌پردازد و سپس ثابت می‌کند که فاصلهٔ کانونی برای همهٔ نقاط روی یک بیضی ثابت است.<ref dir=ltr>{{harvcolnb| Coolidge | 1945 | pp=14-25}}</ref>
آپولونیوس همچنین [[خط مماس]] بر منحنی (که بعدها موضوع اصلی [[حساب دیفرانسیل]] شد) را تعریف و [[عدد پی]] (ثابتی لازم برای یافتن طول‌ها و مساحت دایره و بیضی) را محاسبه کرد.<ref dir=ltr>{{harvcolnb | Mazer | 2011 | p=11}}</ref>
<!--[[سلوکوس سلوکیه‌ای]] (حدود ۱۹۰ پ.م.) -->
[[پرونده:Conica of Apollonius of Perga fol. 6b-7a DETAIL.jpg|بندانگشتی|راست|نسخه‌ای از ترجمهٔ عربی ''مخروطات'' آپولونیوس]]
[[پرونده:Gravure originale du compas parfait par Abū Sahl al-Qūhī.jpg|بندانگشتی|طرحی از [[پرگار تام]] اثر [[ابوسهل بیژن کوهی]]]]
همزمان با حکومت [[مأمون]] در خراسان (در قرن سوم هجری)، [[بنوموسی|اخوان ثلاثهٔ بنوموسی]] دست به ترجمهٔ ''مخروطات'' آپولونیوس از [[زبان یونانی|یونانی]] به [[زبان عربی|عربی]] زدند. بنوموسی فقط نسخه‌ای ناقص از ''مخروطات'' را در اختیار داشتند و مقاطع مخروطی در زمان ایشان به دست فراموشی سپرده شده بود، بنابراین در فهم متن دچار مشکل بودند. اندکی بعد، یکی از اخوان ثلاثه به نام حسن نظریهٔ مقاطع استوانه‌ای را ابداع کرد که می‌توان آن را مقدمه‌ای ساده بر مقاطع مخروطی دانست. پس از درگذشت حسن، برادرش احمد در [[شام (سرزمین)|شام]] نسخه‌ای کامل‌تر از چهار فصل اول ''مخروطات'' را با شرح [[اوتوکیوس]] پیدا کرد و به کمک برادر دیگرش، محمد، و با استفاده از دو نسخهٔ موجود و نظریهٔ حسن، موفق شد نظریات آپولونیوس را دریابد. احمد و محمد ترجمهٔ مقالهٔ اول تا چهارم ''مخروطات'' را به [[هلال حمصی]] و مقالهٔ پنجم تا هفتم آن را به [[ثابت بن قره]] سپردند و خود بازنگری نهایی ترجمه را عهده‌دار شدند. ترجمهٔ برادران بنوموسی از مقالات پنجم تا هفتم ''مخروطات'' تنها نسخهٔ باقی ماندهٔ این اثر است.<ref name="ReferenceA">{{پکه| هوخندایک | امینی | ۱۳۹۲ | pp=۸۶–۹۸}}</ref>
ترجمهٔ آثار علمی به عربی اغلب نیازمند ابداع اصطلاحات فنی تازه بود و مترجمان آن‌ها، بر خلاف مترجمان [[زبان لاتین|لاتین]]، به [[ترانویسی]] عبارات یونانی اکتفا نکردند{{یاد|شاید به این دلیل که اصطلاحات بیگانه به‌سادگی در ساختار
زبان عربی پذیرفته نمی‌شود.}} و برای واژهٔ «الپسیس» اصطلاح «{{عبارت عربی|قطع ناقص}}» را در نظر گرفتند که معنای آن را حفظ می‌کند{{یاد|در معادلهٔ آپولونیوس برای بیضی <math>(y^2=px^2-\frac{px}{d})</math> مقدار <math>\frac{px}{d}</math> کاسته می‌شود و «ناقص» در «قطع ناقص» به همین امر اشاره دارد. معادلهٔ آپولونیوس برای هذلولی مشابه معادلهٔ بیضی است با این تفاوت که مقدار <math>\frac{px}{d}</math> به مقدار <math>px^2</math> اضافه می‌شود، ازین‌رو مترجمان عربی آن، هذلولی را «قطع زائد» نامیدند. معادلهٔ آپولونیوس برای [[سهمی]] هم <math>y^2=px^2</math> است و چون در آن بخش ناقص و زائدی نیست مترجمان عربی برای آن معادل «مُکافی» (به معنی هم‌کفو و برابر) را برگزیدند.<ref name="ReferenceA">{{پکه| هوخندایک | امینی | ۱۳۹۲ | pp=۸۶–۹۸}}</ref>}} و هنوز در زبان عربی به بیضی «{{عبارت عربی|قطع ناقص}}» گفته می‌شود.<ref name="ReferenceA">{{پکه| هوخندایک | امینی | ۱۳۹۲ | pp=۸۶–۹۸}}</ref>
 
کتاب مفقودشدهٔ {{عبارت عربی|''الشکل المدور المستطیل''}} هم که به حسن بنی موسی منسوب شده‌است در مورد ترسیم بیضی بوده و به نظر می‌رسد بر اساس روش «ترسیم بیضی به روش باغبانی» (رسم بیضی با داشتن مجموع فواصل یک نقطه روی بیضی از دو کانون) باشد. دراین‌صورت ممکن است این اثر اولین جایی باشد که ترسیم بیضی به این روش در آن بحث شده‌است.<ref name="پکه| طاهری | ۱۳۹۴| pp=۱۲۷–۱۵۰">{{پکه| طاهری | ۱۳۹۴| pp=۱۲۷–۱۵۰}}</ref>
[[ثابت بن قره]] نیز (که ترجمهٔ مقالات پنجم تا هفتم ''مخروطات'' را برای برادران بنوموسی انجام داده بود) در کتاب {{عبارت عربی|''في قطوع الاستوانة و بسيطها''}} [[دگرگونی (تابع)|نگاشت]]ی را مطالعه می‌کند که بیضی با نیم‌قطرهای <math>a</math> و <math>b</math> را به دایره‌ای با شعاع <math>\sqrt{ba}</math> انتقال می‌دهد.<ref>{{پکه| کریمیان | ۱۳۹۰| pp=۱۵–۲۲}}</ref>
 
معماران و بنّاهای دورهٔ اسلامی هم، که به دلایل عملی نیاز به ترسیم بیضی داشته‌اند، ابزاری موسوم به [[پرگار تام]] ابداع کردند که با آن می‌توان مقاطع مخروطی را با حرکت اتصالی رسم کرد. [[ابوسهل بیژن کوهی]] در قرن چهارم هجری رساله‌ای به نام {{عبارت عربی|''رسالة في البرکار التام و العمل به''}} دربارهٔ این ابزار نوشته‌است.<ref>{{ name="پکه| طاهری | ۱۳۹۴| pp=۱۲۷–۱۵۰}}<"/ref>
 
=== رنسانس و قرون جدید ===
[[پرونده:Kepler1-fa.svg|300px|بندانگشتی|چپ|[[قوانین_کپلرقوانین کپلر#قانون_اولقانون اول|قانون اول کپلر]]]]
{| class="wikitable collapsible" align=left style="float: left; clear: left;width:300px;text-align:center"
|+ مشخصات بیضی مدار سیارات
در ۱۶۰۲ میلادی، [[کپلر]] در پی رفع نارسایی‌هایی مدل کوپرنیک به این نتیجه رسید که مسیر حرکت سیارات به شکل تخم‌مرغ (خایوی) است<ref dir=ltr>{{harvcolnb|Encyclopedia Britannica}}</ref> و فواصل بین آنها بر اساس [[اجسام افلاطونی]] تعیین می‌شود.
[[تیکو براهه]] (۱۵۴۶–۱۶۰۱ م.) با تکیه بر مشاهداتش از حرکت مریخ، نظریات کپلر را دربارهٔ شکل منظومهٔ شمسی رد کرد و کپلر را دعوت کرد که به رصدخانهٔ او در پایتخت [[امپراتوری مقدس روم]] [[پراگ]] برود. کپلر، در تلاش برای حل ناهماهنگی بین مدلش از هستی و مشاهدات براهه، به این کشف مهم نایل شد که سیارات در مداری بیضوی و نه مدور به دور خورشید می‌گردند.<ref dir="ltr">{{harvcolnb|Encyclopedia Britannica - Geometry}}</ref>
بنابر [[قوانین_کپلرقوانین کپلر#قانون_اولقانون اول|قانون اول کپلر]]، [[خورشید]] همواره روی یکی از کانون‌های این بیضی قرار دارد.<ref dir=ltr>{{harvcolnb| Wolfram MathWorld | 2002}}</ref>
عبارت «کانون بیضی» را هم (که مفهوم آن را سده‌ها پیش [[آپولونیوس]] بیان کرده بود) کپلر نخستین بار در سال ۱۶۰۹ در کتاب ''{{پم|ستاره‌شناسی نوین|Astronomia nova}}'' به کار برد.<ref dir=ltr>{{harvcolnb|Encyclopedia Britannica}}</ref> به‌ نوشتهٔ کپلر در این کتاب، خورشید موتوری است که نیروی لازم برای حرکت سیاره‌ها را فراهم می‌‌کند و سرعت سیاره‌ها با نزدیک شدن به خورشید در خم مدارشان بیشتر می‌شود.<ref dir=ltr>{{harvcolnb | Mazer | 2011 | p=26}}</ref>
 
 
بنابراین هر بیضی را می‌توان با داشتن دو کانون و یک نقطه روی محیط ترسیم کرد.
برای اثبات این ویژگی، می‌توان نقطهٔ <math>p(x,y)</math> را تعریف و در [[فاصله#فاصله_در_هندسهٔ_معمولیفاصله در هندسهٔ معمولی|فرمول فاصله]] جایگزین کرد:
:{{وسط|<math>dist(p,f_1) + dist(p,f_2) = \sqrt{(x-e)^2 + y^2} + \sqrt{(x+e)^2 + y^2}</math>}}
و با استفاده از معادلهٔ بیضی (<math>b^2\cdot x^2+a^2\cdot x^2-a^2\cdot b^2=0</math>) می‌توان نشان داد که این مقدار برابر <math>2a</math> است.<ref dir=ltr>{{harvcolnb|Pottmann | Asperl | Hofer | Kilian | 2007 | p=232}}</ref>
وتری که از یکی از کانون‌ها می‌گذرد و بر قطر بزرگ بیضی عمود است «راست‌وتر کانونی» نامیده می‌شود. نصف این وتر، یعنی «نیم‌راست‌وتر کانونی»{{یادچپ|semi-latus rectum}} است که با حرف <math>p</math> نمایش داده می‌شود. می‌توان نشان داد که:
:‍{{وسط|<math>p=\frac {b^2}{a}</math>}}
همچنین می‌توان با استفاده از [[بیضی#معادلهٔ_قطبیمعادلهٔ قطبی|معادلهٔ قطبی بیضی]] نشان داد که:<ref dir=ltr>{{harvcolnb| University of Denver | 2002}}</ref>
:‍{{وسط|<math>p=a (1-e^2)</math>}}