آزمون خطای استاندارد میانگین: تفاوت میان نسخه‌ها
محتوای حذف‌شده محتوای افزوده‌شده
فارسی سازی بیشتر برچسب: متن دارای ویکی‌متن نامتناظر |
جز تغییر جزئی برچسب: متن دارای ویکی‌متن نامتناظر |
||
خط ۱:
'''آزمون Z''' نوعی آزمون آماری است که توزیع آماره‌ی آزمون تحت فرضیه‌ی صفر می‌تواند به صورت یک توزیع نرمال تخمین زده‌شود. به علت قضیه‌ی حد مرکزی بیشتر آماره‌های آزمون برای تعداد زیاد نمونه، به صورت تقریبی با توزیع نرمال قابل تخمین زدن هستند. برای هر سطحی معنادار بودن آزمون
اگر ''T'' یک آماره باشد که تحت فرض صفر به صورت تقریبی از توزیع نرمال پیروی کند، قدم بعدی برای انجام دادن آزمون ''Z'' محاسبه‌ی امید ریاضی ''T'' است. فرض کنید مقدار آن θ باشد. در این صورت اگر انحراف معیار ''T'' را نیز حساب کنیم و آن‌را ''s'' بنامیم، عدد ''Z'' به‌دست آمده برابر <math> Z = \frac{(T - \theta)}{s} </math> خواهد بود که با استفاده از این عدد می‌توانیم [[پی-مقدار]] یک‌طرفه یا دوطرفه را حساب کنیم. این مقدار برای آزمون یک‌طرفه برابر <math> \Phi(Z) </math> برای سمت راست یا <math> \Phi(-Z) </math> برای سمت چپ است. در آزمون دوطرفه نیز این مقدار برابر <math> 2\Phi(|Z|) </math> است که <math> \Phi </math> همان تابع استاندارد توزیع تجمعی نرمال است.
خط ۲۰:
که <math>{\sigma}</math> انحراف معیار جمعیت است.
سپس باید مقدار ''Z'' را حساب کنیم که برابر است با اختلاف میانگین نمونه‌ها و جمعیت تقسیم بر خطای استاندارد میانگین:
:<math>
در این مثال فرض کردیم که واریانس نمونه‌ها و جمعیت مشخص است، که این فرض در صورتی که از تمام دانش‌آموزان منطقه امتحان را بگیریم فرض درستی است. وقتی که پارامترهای جمعیت نامشخص باشند باید از آزمون t استفاده کرد.
خط ۳۰:
به عبارتی دیگر به احتمال ۰/۹۸۶ یک نمونه‌گیری تصادفی ۵۵ تایی از دانش‌آموزان میانگینی خواهند داشت که داخل بازه‌ی ۴ انحراف معیار از میانگین جمعیت است. یعنی با اطمینان ۹۸/۶٪ ما فرضیه‌ی صفر را رد می‌کنیم (چون میانگینی که به‌دست آوردیم فقط به احتمال 0.014 به وقوع می‌پیوندد)
== استفاده‌های دیگر آزمون ''Z'' ==
یکی دیگر از زمینه‌های استفاده‌ی آزمون ''Z'' در برآورد درست‌نمایی بیشینه‌ی پارامترها در یک مدل پارامتری آماری است. برآوردهای درست‌نمایی بیشینه در شرایطی خاص از توزیع نرمال پیروی می‌کنند. برآورد درست‌نمایی بیشینه تقسیم بر خطای استاندارد آن می‌تواند به عنوان یک آماره باشد برای فرضیه‌ی صفری که مقدار آن پارامتر در جمعیت برابر صفر است. به‌صورت کلی اگر <math>\hat{\theta}</math> تخمین بیشینه‌ی درست‌نمایی پارامتر <math>\theta</math> باشد و <math>\theta_0</math> مقدار <math>\theta</math> تحت فرضیه‌ی صفر باشد در این صورت:
خط ۳۸:
</math>
می‌تواند به عنوان یک آماره‌ی آزمون ''Z'' باشد.
وقتی از آزمون ''Z'' برای تخمین بیشینه‌ی درست‌نمایی استفاده می‌کنیم، مهم است بدانیم که نرمال بودن توزیع به‌صورت تقریبی ممکن است برای نمونه‌هایی که به اندازه‌ی کافی زیاد نیستند، ضعیف عمل کند و با تقریب خوبی نرمال نباشد.
با اینکه قانونی ساده و عمومی وجود ندارد که بفهمیم چقدر تعداد نمونه‌ها باید زیاد باشد تا بتوان از آزمون ''Z'' استفاده کرد، روش مونت کارلو می‌تواند ایده‌ی خوبی باشد که آیا یک آزمون ''Z'' برای داده‌ها مناسب است یا خیر.
آزمون ''Z'' می‌تواند در مواقعی استفاده شود که ثابت شود آماره‌ی آزمون تحت فرضیه‌ی صفر از توزیع نرمال پیروی می‌کند. تعداد زیادی از آماره‌های غیر پارامتری مانند آماره‌ی U برای تعداد نمونه‌های زیاد، به صورت تقریبی از توزیع نرمال پیروی می‌کنند و برای همین معمولاً از آزمون ''Z'' در این مواقع استفاده می‌شود.
== موضوعات مرتبط ==
| |||