اعداد فیبوناچی: تفاوت میان نسخه‌ها

محتوای حذف‌شده محتوای افزوده‌شده
جز ویرایش با ابزار زدودن تبلیغ
جز ویرایش به‌وسیلهٔ ابرابزار:
برچسب: متن دارای ویکی‌متن نامتناظر
خط ۱:
در [[ریاضیات]]، '''سری فیبوناچی ''' {{انگلیسی|Fibonacci number}} به دنباله‌ای از [[عدد|اعداد]] می‌گویند که به‌صورت زیر تعریف می‌شود:
:<math>
F(n):=
\begin{cases}
0 & \mbox{if } n = 0; \\
خط ۱۲:
 
{{چپ‌چین}}
:۰، ۱، ۱، ۲، ۳، ۵، ۸، ۱۳، ۲۱، ۳۴، ۵۵، ۸۹، ۱۴۴، ۲۳۳، ۳۷۷، ۶۱۰، ۹۸۷، ۱۵۹۷، ۲۵۸۴، ۴۱۸۱، ۶۷۶۵، ۱۰۹۴۶، ۱۷۷۱۱
:۰٬ ۱٬ ۱٬ ۲٬ ۳٬ ۵٬ ۸٬ ۱۳٬ ۲۱٬ ۳۴٬ ۵۵٬ ۸۹٬ ۱۴۴٬ ۲۳۳٬ ۳۷۷٬ ۶۱۰٬ ۹۸۷٬ ۱۵۹۷٬ ۲۵۸۴٬ ۴۱۸۱٬ ۶۷۶۵٬ ۱۰۹۴۶٬ ۱۷۷۱۱
{{پایان چپ‌چین}}
این اعداد به نام [[لئوناردو فیبوناچی]]، ریاضی‌دان ایتالیاییِ قرن سیزدهم میلادی، نام‌گذاری شده‌است.
خط ۳۹:
[[پرونده:مارپیچ فیبوناچی.gif|جایگزین=Fibonacci spiral|بندانگشتی|مارپیچ فیبوناچی]]
x<sub>۱</sub> = ۱ , x<sub>۲</sub> = ۱ , x<sub>n</sub> + ۱ = x<sub>n</sub> + x<sub>n</sub> - ۱
[[پرونده:فیبو ناچی و طرز عمل آن.gif|جایگزین=visualization for better leraning|بندانگشتی|شکل گیریشکل‌گیری دنباله فیبو ناچی . حمع هر دو عدد ،عدد، عدد بعدی را شکل می دهدمی‌دهد.]]
که اگر از قواعد مذکور پیروی کنیم به دنباله زیر خواهیم رسید که به دنباله فیبوناچی مشهور است.
 
خط ۵۳:
 
== جمله عمومی دنباله فیبوناچی ==
 
چند فرمول برای احتساب جملهٔ nام دنبالهٔ فیبوناچی، بدون استفاده از جملات ماقبل وجود دارد.
 
:<math>F\left(n\right) = {{\varphi^n-(1-\varphi)^n} \over {\sqrt 5}}={{\varphi^n-(-\varphi)^{-n}} \over {\sqrt 5}}\, ,</math>، یکی از این فرمول هاست.
 
:<math>\varphi</math> (فی) همان عدد طلایی است که برابر با :<math>{{1+\sqrt 5}}\over 2</math> می‌باشد.می‌باشد؛ که برابر ۱.۶۱٫۶ میباشدمی‌باشد
 
== ارتباط عدد طلایی با دنباله فیبوناچی ==
سطر ۹۳ ⟵ ۹۲:
=== معادله خط ===
معادلهٔ خطی به صورت y=mx در نظر می‌گیریم. m به معنی شیب خط است و یک [[عدد حقیقی]] است. می‌دانیم اگر m گنگ باشد، خط y=mx از هیچ نقطه‌ای با مختصات صحیح به جز مبدأ عبور نخواهد کرد. در واقع این خط امکان ندارد از نقطه‌ای (جز مبدأ) عبور کند که هم x و هم y آن [[عدد صحیح]] باشند.
{{سر خط}}حال به جای m قرار می‌دهیم: φ. یعنی خط y=φx را در نظر می‌گیریم. چون φ هم یک [[عدد گنگ]] است، این خط از هیچ نقطه‌ای با x و y صحیح (جز مبدأ) عبور نخواهد کرد. به همین دلیل نقطه‌هایی را با x و y صحیح در نظر می‌گیریم که کمترین فاصله را از این خط دارند. ابتدا به نظر می‌رسد نقطهٔ (۱، ۱) کمترین فاصله را با این خط دارد.دارد؛ ولی فاصلهٔ نقطهٔ (۲، ۱) از این خط کمتر است. نقطهٔ (۳، ۲) فاصلهٔ کمتری با این خط دارد. همچنین فاصلهٔ نقطهٔ (۵، ۳) از این هم کمتر است. این نقاط به همین ترتیب ادامه خواهند یافت و در زیر چند نقطهٔ بعدی را که فاصله‌شان از این خط کمتر می‌شود را می‌بینید:... ،(۵۵، ۳۴)، (۳۴، ۲۱)، (۲۱، ۱۳)، (۱۳، ۸)، (۸، ۵)، (۵، ۳)، (۳، ۲)، (۲، ۱)، (۱، ۱)
 
صحت مطالب فوق به راحتی قابل بررسی است. با کمی دقت در مختصات این نقاط درخواهیم یافت که این مختصات از الگوی دنباله فیبوناچی پیروی می‌کنند. این نقاط را نقاط فیبوناچی می‌نامند.
 
=== جمع جملات دنباله فیبوناچی ===
برای بدست آوردن جمع جملات دنباله فیبو ناچی می‌توان از رابطه <math>S_n=F_{n+2}-1</math>استفاده کرد.
[[پرونده:جمع فیبوناچی.gif|جایگزین=Fibonacci sequence summation|بندانگشتی|جمع جملات دنباله فیبوناچی و تکنیک جمع آنها]]