توابع معکوس مثلثاتی: تفاوت میان نسخه‌ها
محتوای حذف‌شده محتوای افزوده‌شده
یک کلمه دو بار تایپ شده بود (میتواند) برچسب‌ها: متن دارای ویکی‌متن نامتناظر ویرایش همراه ویرایش از وبگاه همراه |
جز استفاده از لفظ دیگر توابع معکوس مثلثاتی که در ویکیپدیای انگلیسی آورده شده است. برچسب‌ها: متن دارای ویکی‌متن نامتناظر ویرایشگر دیداری |
||
خط ۲:
'''توابع معکوس مثلثاتی''' در [[ریاضیات]]، [[تابع معکوس|معکوس]] [[سینوس (ریاضیات)|تابع‌های مثلثاتی]] اند که طبق تعریف تابع وارون، [[برد (ریاضی)|بُرد]] آن‌ها [[زیرمجموعه|زیرمجموعهٔ]] دامنهٔ تابع اصلی دیگری است. از آنجایی که [[تابع‌های مثلثاتی]] هیچکدام یک به یک نیستند، برای همین برای اینکه وارون آن‌ها تابع بماند (به ازای یک ورودی چند خروجی به دست نیاید) باید آن‌ها را محدود کرد (نگاه کنید به [[آزمون خط افقی]]).
برای نمونه اگر تعریف کنیم <math>y = \operatorname{arcsin}(x)</math>یا به شکل دیگر <math>y=sin^{-1}x</math>آنگاه <math>x = \operatorname{sin}(y)</math> است امابازای یک ''x'' یکتا می‌توان چندین ''y'' پیدا کرد که به ازای آن <math>x = \operatorname{sin}(y)</math> شود، مانند ''y'' مساوی صفر، π و ۲π که به ازای همهٔ آن‌ها مقدار سینوس یا ''x'' برابر با صفر است و این به این معنی است که تابع وارون سینوس یا arcsin یا <math>sin^{-1}x</math> میتواند چندین جواب داشته باشد <math>\operatorname{arcsin}(0)=0, \pi, 2\pi</math> درحالی که این خلاف مفهوم تابع بودن است. برای همین برای تمامی تابع‌های وارون مثلثاتی محدودیت [[برد (ریاضی)|بُرد]] یا خروجی قرار می‌دهیم تا به ازای یک ورودی چندین خروجی نداشته باشند.
نمایش توابع معکوس مثلثاتی به فرم مشابه <math>sin^{-1}x</math>(سینوس‌اینورس) برای اولین بار توسط [[جان هرشل]] در سال ۱۸۱۳ به کار برده شد. این فرم را نباید با مقدار <math>{\operatorname{1}\over\operatorname{sin}\!x}</math>اشتباه گرفت؛ چراکه اولی به معنای تابع وارون (گرفته شده از نماد <math>y=f^{-1}(x)</math>) و دومی به معنای عکس مقدار سینوس است.
همچنین Arc به معنای "قوس" یا کمانی است که مقدار نسبت مثلثاتی آن معلوم است.
تابع‌های اصلی در جدول زیر آورده شده‌اند:
سطر ۱۰ ⟵ ۱۴:
!نماد ریاضی
!تعریف
!دامنۀ تابع
!برد تابع{{سخ}}([[رادیان]])
!برد تابع{{سخ}}([[درجه]])
|-
| '''آرک‌سینوس'''
یا
'''سینوس‌اینورس'''
|<math>y=\arcsin(x)</math>یا
<math>y=sin^{-1}(x)</math>
|<math>x=sin(y)</math>||<math>-1\leq x \leq1</math>||<math>-\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}</math> ||<math>-90^\circ\leq y\leq 90^\circ</math>
|-
| '''آرک‌کسینوس'''
یا
'''کسینوس‌اینورس'''
|<math>y=\arccos(x)</math>یا
<math>y=cos^{-1}(x)</math>
|<math>x=cos(y)</math>||<math>-1\leq x \leq1</math>||<math>0 \le y \le \pi</math>||<math>0^\circ\leq y\leq 180^\circ</math>
|-
| '''آرک‌تانژانت'''
| '''آرک‌تانژانت''' || ''y'' = arctan ''x'' || ''x'' = [[تانژانت|tan]] ''y'' || تمامی اعداد حقیقی ||<math>-\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}</math> || °۹۰ ≥ y ≥ °۹۰-▼
یا
'''تانژانت‌اینورس'''
|<math>y=\arctan(x)</math>یا
<math>y=tan^{-1}(x)</math>
▲|
|-
| '''آرک‌کتانژانت'''
یا
| <math>0 \le y \le \pi</math>|| ۱۸۰° ≥ y ≥ °۰▼
'''کتانژانت‌اینورس'''
|<math>y=\arccot(x)</math>یا
<math>y=cot^{-1}x</math>
|<math>x=cot(y)</math>|| تمامی اعداد حقیقی
|-
| '''آرک‌سکانت'''
| '''آرک‌سکانت''' || ''y'' = arcsec ''x'' || ''x'' = [[سکانت|sec]] ''y'' || ''x'' ≤ −۱ یا ۱ ≤ ''x'' || <math>0 \le y \le \pi, y \ne \; \frac{\pi}{2}</math>|| ۱۸۰° ≥ y ≥ °۰ و y≠۹۰°▼
یا
'''سکانت‌اینورس'''
|<math>y=\arcsec(x)</math>یا
<math>y=sec^{-1}x</math>
▲|
<math>y\neq 90^\circ</math>
|-
| '''آرک‌کسکانت'''
| '''آرک‌کسکانت''' || ''y'' = arccsc ''x'' || ''x'' = [[کسکانت|csc]] ''y'' || ''x'' ≤ −۱ یا ۱ ≤ ''x'' ||<math>\frac {-\pi}{2} \le y \le \frac {\pi}{2}, y \ne \; 0</math> || °۹۰ ≥ y ≥ °۹۰- و y≠۰°▼
یا
'''کسکانت‌اینورس'''
|<math>y=\arccsc(x)</math>یا
<math>y=csc^{-1}x</math>
▲|
<math>y\neq 0^\circ</math>
|-
|}
برخی تعاریف:
:آرک‌سینوس (سینوس‌اینورس) یک عدد مفروض زاویه‌ای است که سینوس آن برابر آن عدد مفروض است
:آرک‌کسینوس (کسینوس‌اینورس) یک عدد مفروض زاویه‌ای است که کسینوس آن برابر آن عدد مفروض است
:آرک‌تانژانت (تانژانت‌اینورس) یک عدد مفروض زاویه‌ای است که تانژانت آن برابر آن عدد مفروض است
:آرک‌کتانژانت (کتانژانت‌اینورس) یک عدد مفروض زاویه‌ای است که کتانژانت آن برابر آن عدد مفروض است.<ref>واژه‌های مصوّب فرهنگستان تا پایان دفتر دهم فرهنگ واژه‌های مصوّب</ref>
== رابطهٔ میان تابع‌های وارون مثلثاتی ==
| |||