|
'''معادلهمعادلۀ دیراک'''، معادله‌ای است در [[مکانیک کوانتومی]] واست تعمیم‌یافتهٔکه از گسترش [[معادله شرودینگر]] برای محاسبه تابع موجیموج ذرّات،ذرّات بابه‌دست می‌آید. برتری آن بر معادلۀ شرودینگر در این تفاوتاست که اینمعادلۀ معادلهدیراک [[نسبیت خاص|نظریه نسبیت خاص]] را نیز در نظربر می‌گیرد. این معادله توسطرا فیزیکدان [[بریتانیا|بریتانیایی]] [[پل دیراک]] پدید آمد کهآورد. خود دیراک این معادله را بر مبنایپایۀ [[معادله کلاین-گوردون]] گسترش داد. در این مسیرراه او نیاز به حالت‌هایحالت‌هایی با تکانه زاویه ایزاویه‌ای j=1/2 در طبیعت راپی کشفبرد. کرد.این موضوع به ویژه در تعبیردریافت حالت‌های با انرژی منفی کارایی داشت.<ref>مکانیک کوانتومی مدرن ، جی.جی.ساکورایی جیم ناپولیتانو ، ترجمه دکتر مسعود علیمحمدی، شابک: 978-600-7724-03-3 </ref>
== مقدمه ==
[[معادله شرودینگر|معادلۀ شرودینگر]] در فرم غیرریخت نسبیتینانسبیتی آن به صورتریخت زیر است
<math>[-\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2+V]\psi=i\hbar \frac{\partial}{\partial t}\psi</math>
این معادله بر پایهپایۀ فرضیاتپنداشتهای غیرنانسبیتی نسبیتی بدستبه‌دست آمده است. وابستگی به زمان در این معادلهمعادله، وابستگی به صورتزمان خطی است در حالی کهولی وابستگی به مکان در آن بهناخطی صورت غیر خطی می‌باشداست. این معادله نسبت به [[تبدیلات گالیله|تبدیلهای گالیله]] ناورداست اما نسبت به [[تبدیلات لورنتز|تبدیلهای لورنتز]] [[ناوردا]] باقی نمی‌ماند. علاوهافزون براینبر این معادلهٔ شرودینگر نمی‌تواند [[اسپین]] ذرات را پیش‌بینی کند و اسپین را باید به صورت دستی در جوابهایپاسخهای آن وارد شودنهاد. این دلایلناکاریها مافیزیک را بر آن می‌دارد که به دنبالجستجوی معادلهمعادله‌ای ایرهنمون باشیمکرد که اینچنین نقایص راکمبودهایی نداشته باشندباشد. زیرا در فیزیک با مواردیموردهایی روبرو می‌شویم که درباید نظرتصحیحهای گرفتننسبیتی تصحیحاترا نسبیتیهم گریزدر ناپذیرشمار می‌گرددآوریم. معادلهاز ایاین کهرو باید بدنبالبه‌دنبال آنمعادله‌ای باشیم بایدکه نسبت به تبدیلاتتبدیلهای لورنتز کهناوردا تبدیلاتیباشد، فراگیرترچرا وکه عامتراین تبدیلها نسبت به تبدیلاتتبدیلهای گالیله هستندفراگیرتر ناورداو باشدهمگانی‌تریند.
== معادلهمعادلۀ دیراک ==
دیراک در پی یافتن معادلۀ شرودینگری به ریخت
در پی یافتن معادله ای که نرم مثبت داشته باشد و هامیلتونی ظاهر شده در معادله موج هرمیتی باشد به معادله دیراک دست می یابیم که نسبت به مکان و زمان، هر دو، مرتبه یک می‌باشد. ▼{{چپ‌چین}}
<math>H_D \Psi = E_D \Psi</math>
{{پایان چپ‌چین}}
با همیلتونی
{{چپ‌چین}}
<math>H_D=c\; \vec\alpha \cdot p + \beta \; mc^2 </math>
{{پایان چپ‌چین}}بود که عملگرهای <math>\vec\alpha</math>و <math>\beta</math>در آن نه به سازند فضا زمانی <math>x=(c\;t,\;\vec x)</math>و نه به <math>\partial^{\,\mu}</math>وابسته باشد. از سوی دیگر چون <math>H_D </math> هرمیتیست، ناگزیر <math>\vec\alpha</math>و <math>\beta</math> هم باید هرمیتی باشند، به دیگر سخن
{{چپ‌چین}}
<math>\vec\alpha^\dagger = \vec\alpha\quad ,\quad \beta^\dagger=\beta</math>
{{پایان چپ‌چین}}
باشد. از سوی دیگر همیلتونی<math>H_D </math> باید به ریخت انرژی نسبیتی
{{چپ‌چین}}
<math>(H_D)^2=(c\; p)^2 + (m\;c^2)^2</math>
{{پایان چپ‌چین}}باشد. بنابراین
{{چپ‌چین}}
<math>(\alpha^i)^2=1 \quad ,\quad \beta^2 = 1 </math>
<math>\lbrace\alpha ^{i}, \beta ^{\;j}\rbrace=2\;\delta^{ij}1 </math>
{{پایان چپ‌چین}}
و همچنین
{{چپ‌چین}}
<math>(\gamma^0)\beta \quad ,\quad \gamma^j=\beta\;\alpha^j </math>
{{پایان چپ‌چین}}
<ref>فیزیک ذرات بنیادی ، دبلیو.ان کاتینگهام، دی.ای گرین‌وود، برگردان محمدفرهاد رحیمی، حمیدرضا رضازاده، شابک: 9789642927838 </ref>
▲پس در پی یافتن معادلهمعادله ایموجی کهبا [[نرم |هنج]] مثبت داشته باشد و هامیلتونی ظاهر شده در معادله موج هرمیتی باشد به معادله دیراک دست می یابیممی‌یابیم که هم نسبت به مکان و زمان،هم نسبت به هرزمان دو،از مرتبه یک می‌باشداست.
معادله دیراک، تابع موجی ذرّات با [[اسپین]] نیمهنیم یعنی [[فرمیون‌ها]] را (مانند [[الکترون|الکترون‌ها]]) توجیهبیان می‌کند، در حالیمی‌کند. کهولی [[معادله کلاین-گوردون]] برای ذرّات با اسپین صفر (مانند بعضیبرخی از [[مزون‌ها]]) در نظر گرفته می‌شوددرستست. دیراک همچنین توانست با معادله‌اش، موجودیت [[ضدمادهپادماده]] به خصوصبه‌ویژه [[پوزیترون]] را سه سال قبلپیش از کشفیافتن آن‌ها توسطدر آزمایش نشانپیش‌بینی دهدکند. معادلهٔ دیراک در صورتی کهچنانچه هیچ نیروی خارجیبیرونی وجوددرکار نداشتهنباشد، باشدمعادلهٔ دیراک به صورتریخت زیر نوشته می‌شود:
<center>
<math>\left( i \gamma ^\mu \partial _\mu - \frac{mc}{\hbar}\right) \psi = \left( i \partial\!\!\!/ - \frac{mc}{\hbar} \right) \psi = 0</math>
</center>
در اینجا <math>\partial\!\!\!/ = \gamma ^\mu \partial _\mu</math> توسطبا نمادنویسی خط مورب فاینمن جمع‌بندیجمع می‌شودبسته ومی‌شود. <math>\gamma^\mu</math> ماتریسهای ۴×۴4×4 هستند که به نام [[ماتریسهای دیراک]] مشهورشناخته هستندمی‌شوند.
<center>
<math>
[[رده:معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی]]
[[رده:معادلات دیفرانسیل هذلولوی با مشتقات جزئی]]
[[رده:معرفی‌شده‌های ۱۹۲۸1928 (میلادی)]]
[[رده:مفاهیم بنیادین فیزیک]]
[[رده:مکانیک کوانتم]]
| 