معادله دیراک: تفاوت میان نسخه‌ها

محتوای حذف‌شده محتوای افزوده‌شده
Hamidphys (بحث | مشارکت‌ها)
Hamidphys (بحث | مشارکت‌ها)
افزودن بخش لاگرانژی دیراک
خط ۶۳:
<math>\sigma_{n}</math> نیز [[ماتریس‌های پاولی]] نام دارند.
 
== لاگرانژی دیراک ==
در [[مدل استاندارد (ذرات بنیادی)|الگوی بهنجار ذره‌های بنیادی]] همهٔ [[ذرات بنیادی|ذره‌های بنیادی]] [[اسپین]] نیم دارند و از معادلهٔ دیراک پیروی می‌کنند. در [[مدل استاندارد (ذرات بنیادی)|الگوی بهنجار ذره‌های بنیادی]] [[نوترینو|نوترینوها]] وارون [[لپتون|لپتونهای]] باردار هم‌خانواده‌شان بی‌جرم پنداشته می‌شوند و بنابراین از معادلهٔ دیراک بی‌جرم پیروی می‌کنند.
بنا بر [[نظریه کوانتومی میدان|نگرهٔ کوانتمی میدان]] برای به‌دست آوردن معادلهٔ حرکت باید از [[لاگرانژین (نظریه میدان)|لاگرانژی]] [[میدان (فیزیک)|میدان]] آغازید. برای [[میدان (فیزیک)|میدانی]] [[فرمیون|فرمیونی]] آزاد مانند <math>\psi(x)</math> لاگرانژی دیراک را می‌توان به ریخت زیر نوشت:
 
{{چپ‌چین}}
<math>\mathcal{L}(x)=\overline{\psi(x)}(\mathrm{i}\overleftrightarrow{\partial\!\!\!/}-m) \psi(x)</math>
{{پایان چپ‌چین}}
 
که <math>\psi(x)</math> در آن میدانی [[اسپینور دیراک|اسپینوری]] با چهار سازند است و میدان همیوغ آن <math>\overline{\psi(x)}</math> و نیز [[عملگر (فیزیک)|عملگر]] مشتق‌گیر دوسویه <math>\overleftrightarrow{\partial}</math> برابرست با
 
{{چپ‌چین}}
<math>\overline{\psi(x)}=\psi^\dagger(x) \gamma^0 \quad ,\quad \overleftrightarrow{\partial}\equiv\frac{\overrightarrow{\partial}_\mu-\overleftarrow{\partial}_\mu}{2}
</math>
{{پایان چپ‌چین}}
 
و عملگر مشتق‌گیر همسو با پیکان رویش یا تنها بر میدانهای سوی راستش و یا تنها بر میدانها سوی چپش کاراست، بدین‌گونه که <math>\overrightarrow \partial_\mu \equiv \partial_\mu </math> بوده و همان عملگر مشتق‌گیر همیشگیست. بنابراین بنا بر معادلهٔ [[معادله اویلر-لاگرانژ|اولر لاگرانژ]] در [[نظریه کوانتومی میدان|نگرهٔ کوانتمی میدان]] داریم:
{{چپ‌چین}}
<math>\partial_\mu \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \overline{\psi(x)})}- \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial \overline{\psi(x)}}=0
</math>
{{پایان چپ‌چین}}
بنابراین با بازکردن لاگرانژی دیراک
{{چپ‌چین}}
<math>\mathcal{L}=\overline{\psi(x)}\dfrac{\mathrm{i}}{2}\gamma^\mu\partial_\mu \psi-m\overline{\psi(x)}\psi(x)-\dfrac{\mathrm{i}}{2}(\gamma^\mu\partial_\mu \overline{\psi(x)})\psi(x)</math>
{{پایان چپ‌چین}}
و گرفتن مشتق از مشتق همیوغ میدان و خود همیوغ میدان و نهادن آن در معادلهٔ اولر لاگرانژ خواهیم داشت:
{{چپ‌چین}}
<math>\partial_\mu[-\dfrac{\mathrm{i}}{2}\gamma^\mu \psi]-[\dfrac{\mathrm{i}}{2}\gamma^\mu \partial_\mu\psi-m\psi]=0</math>
{{پایان چپ‌چین}}
پس
{{چپ‌چین}}
<math>-\mathrm{i}\gamma^\mu \partial_\mu\psi+m\psi=0\Rightarrow</math>
{{پایان چپ‌چین}}
و سرانجام به معادلهٔ دیراک می‌رسیم:
{{چپ‌چین}}
<math>(\mathrm{i}\partial\!\!\!/-m)\psi=0</math>
{{پایان چپ‌چین}}
== جستارهای وابسته ==
 
سطر ۷۸ ⟵ ۱۱۴:
* Sakurai, J. J. (1967). ''Advanced Quantum Mechanics''. Addison Wesley. {{ISBN|0-201-06710-2|en}}.
{{پایان چپ‌چین}}
 
 
{{موضوعات مکانیک کوانتومی}}
[[رده:معادله دیراک]]