واریته جبری: تفاوت میان نسخه‌ها

محتوای حذف‌شده محتوای افزوده‌شده
برچسب: متن دارای ویکی‌متن نامتناظر
خط ۱۴:
مقاله اصلی: واریته آفین
 
برای یک میدان جبری بسته مثل <math>\mathrm{K}</math> و عددی طبیعی مثل <math>\mathrm{n}</math>، <math>\mathrmmathbf{A^{n}}</math> را یک n-فضای آفین بر روی <math>\mathrm{K}</math> در نظر بگیرید. چند جمله ای های <math>\mathrm{f}</math> در حلقه <math>\mathrm{K[x_{1}, ..., x_{n}]}</math> را می توان به صورت توابع K-مقداری روی <math>\mathrmmathbf{A^{n}}</math> دید که مقادیرش را از نقاط <math>\mathrmmathbf{A^{n}}</math> بر می گیرد، یعنی هر <math>\mathrm{x_{i}}</math> نقطه ای از <math>\mathrm{K}</math> انتخاب می کند. برای هر مجموعه <math>\mathrm{S}</math> از چند جمله ای هایی در <math>\mathrm{K[x_{1}, ..., x_{n}]}</math>، مکان صفر های آن یعنی <math>\mathrm{Z(S)}</math> را مجموعه نقاطی از <math>\mathrmmathbf{A^{n}}</math> تعریف می کنیم که توابع داخل مجموعه ی <math>\mathrm{S}</math> همزمان بر روی آن صفر شوند، به عبارتی دیگر داریم:
{{چپ‎چین}}
:<math>Z(S) = \left \{x \in \mathbf{A}^n \mid f(x) = 0 \text{ for all } f\in S \right \}.</math>
{{پایان چپ‎چین}}
زیر مجموعه ای چون <math>\mathrm{V}</math> از <math>\mathrmmathbf{A^{n}}</math> را '''مجموعه جبری آفینی''' گویند اگر برای یک مجموعه مثل <math>\mathrm{S}</math> داشته باشیم <math>\mathrm{V=Z(S)}</math>.{{r|Hartshorne|page1=2}} یک مجموعه جبری آفینی ناتهی چون <math>\mathrm{V}</math> را '''تحویل ناپذیر''' ویند اگر نتوان آن را به صورت اجتماع سره ای از دو زیر مجموعه جبری نوشت.{{r|Hartshorne|page1=3}} یک مجموعه جبری آفینی را واریته آفینی گویند.{{r|Hartshorne|page1=3}} (بسیاری از مؤلفین از عبارت ''واریته آفینی'' برای اشاره به هر مجموعه جبری آفینی استفاده می کنند، چه آن مجموعه تحویل ناپذیر باشد یا خیر<ref group="note">Hartshorne, p.xv, notes that his choice is not conventional; see for example, Harris, p.3</ref>))
بر روی واریته های آفینی می توان توپولوژی طبیعی تعریف کرد، به گونه ای مجموعه های بسته ی آن همان مجموعه های جبری آفینی باشد. این توپولوژی را توپولوژی زاریسکی گویند.{{r|Hartshorne|page1=2}}
اگر زیرمجموعه ای چون <math>\mathrm{V}</math> از <math>\mathrmmathbf{A^{n}}</math> داده شده باشد، <math>\mathrm{I(V)}</math> را به صورت ایده آلی از تمام توابع چند جمله ای تعریف می کنیم که روی مجموعه <math>\mathrm{V}</math> ناپدید (صفر) می شوند:
{{چپ‎چین}}
:<math>I(V) = \left \{f \in K[x_1,\ldots,x_n] \mid f(x) = 0 \text{ for all } x\in V \right \}.</math>