هر تابع دو سویه از <math>G</math> به روی <math>G</math>، جایگشتی از مجموعه <math>G</math> است. مجموعه تمام جایگشت‌های <math>G</math> تحت ترکیب توابع تشکیل گروه می دهند که به آن ''گروه تقارن روی <math>G</math>'' گویند، و به صورت <math>Sym(G)</math> نوشته می شود.<ref>{{harvtxt|Jacobson|2009|p=31}}</ref>
قضیه کیلی با در نظر گرفتن هر گروه (شامل گروه‌های نامتناهی چون <math>(\mathbb{R}, +)</math> هم می شود) به صورت گروه جایگشت یک زیرمجموعه زمینه‌ای، تمام گروه‌ها را بر روی یک شالوده قرار می دهد. از این‌رو، قضایایی که برای زیرگروه‌هایی از گروههایگروههای متقارن درست باشند، برای گروه‌ها در حالت کلی تر هم صادق اند. با این وجود، آلپرین و بل این نکته را یادآوری می کنند که "در حالت کلی این حقیقت که گروه‌های متناهی در یک گروه متقارن نشانده می شوند، از روش های به کار رفته در گروه های متناهی الهام گرفته نشده است".<ref name="AlperinBell1995">{{cite book|author1=J. L. Alperin|author2=Rowen B. Bell|title=Groups and representations|year=1995|publisher=Springer|isbn=978-0-387-94525-5|page=29}}</ref>
کنش منظم که در اثبات های استاندارد قضیه کیلی استفاده می شود، نمایش مینیمالی برای <math>G</math> تولید نمی کندنمی‌کند. به عنوان مثال <math>S_3</math>، خود یک گروه متقارن از مرتبه 6 است و تحت کنش منظم به صورت زیرگروهی از <math>S_6</math> (گروهی از مرتبه 720) نمایش داده می شود.<ref name="Cameron2008">{{cite book|author=Peter J. Cameron|title=Introduction to Algebra, Second Edition|year=2008|publisher=Oxford University Press|isbn=978-0-19-852793-0|page=134}}</ref> مسئله این که چگونه می توان یک گروه را به طور مینیمال در یک گروه متقارن نشاند، مسئله ای پیچیده می باشد.<ref>{{Cite journal|last1=Johnson|first1=D. L.|year=1971|title=Minimal Permutation Representations of Finite Groups|journal=American Journal of Mathematics|volume=93|issue=4|pages=857|doi=10.2307/2373739|jstor=2373739}}</ref><ref>{{Cite journal|last1=Grechkoseeva|first1=M. A.|year=2003|title=On Minimal Permutation Representations of Classical Simple Groups|journal=Siberian Mathematical Journal|volume=44|issue=3|pages=443–462|doi=10.1023/A:1023860730624}}</ref>
