معادله شرودینگر: تفاوت میان نسخه‌ها

بدون خلاصۀ ویرایش
بدون خلاصۀ ویرایش
{{فیزیک نوین}}
{{مکانیک کوانتومی}}
'''معادلهمعادلهٔ شرودینگر'''، معادله‌ای است که چگونگی تغییر [[حالت کوانتومی]] یک سامانه فیزیکی با زمان را توصیف می‌کند. این معادله در اواخر سال ۱۹۲۵ فرمول بندی شد و در سال ۱۹۲۶ توسط فیزیکدان اتریشی [[اروین شرودینگر|اِروین شرودینگر]] منتشر گردیدشد.<ref>{{یادکرد وب |نام خانوادگی۱=Freiberger |نام۱=Marianne |عنوان=Schrödinger's equation — what is it? |نشانی=https://plus.maths.org/content/schrodinger-1 |وبگاه=plus.maths.org |ناشر=Plus Magazine |تاریخ بازبینی=۲۹ اکتبر ۲۰۱۹ |تاریخ=۲ اوت ۲۰۱۲}}</ref>
 
در [[مکانیک کلاسیک]]، [[معادله حرکت]]، [[قانون دوم نیوتن]] است و فرمولبندی‌های معادل آن، معادلهمعادلهٔ اویلر-لاگرانژ و معادله هامیلتون هستند. در همههمهٔ این فرمول بندی‌ها، برای حل حرکت یک سیستم مکانیکی و پیشگویی ریاضی اینکه سامانه در هر زمان پس از شرایط و پیکربندی‌های اولیه چه حالتی خواهد داشت، استفاده می‌شوند.
در مکانیک کوانتومی مشابه قانون دوم نیوتن، معادله شرودینگر برای یک سامانه کوانتومی (معمولاً اتم‌ها، مولکولها، ذرات زیر اتمی (آزاد، بسته، موضعی)) است. این معادله یک معادلهمعادلهٔ جبری ساده نیست ولی (عموماً) یک معادلهمعادلهٔ دیفرانسیل جزئی خطی است. معادله دیفرانسیل شامل [[تابع موج]] برای سیستم است که حالت کوانتومی یا بردار حالت نیز نامیده می‌شود.
 
در تفسیر استاندارد از مکانیک کوانتومی، تابع موج کاملترین توضیحی است که می‌توان در مورد یک سامانه فیزیکی داد. راه حل‌های معادله شرودینگر نه تنها سامانه‌های مولکولی، اتمی و زیر اتمی را توصیف می‌کند بلکه سیستم‌های ماکروسکوپی، حتی کل جهان را نیز توصیف می‌کند.
همانند قانون دوم نیوتن، معادلهمعادلهٔ شرودینگر از لحاظ ریاضی می‌تواند به فرمولبندی‌های دیگر ازنبرگ و فرمولبندی انتگرال سطحی زیمان تبدیل شود. همچنین همانند قانون دوم نیوتون، معادلهمعادلهٔ شرودینگر زمان را به طریقی توصیف می‌کند که برای نظریه‌های نسبیتی مناسب نیست. مشکلی که در مکانیک ماتریسی به اندازهاندازهٔ کافی شدید نیست و در فرمولبندیفرمول‌بندی انتگرال سطحی به‌طور کامل حضور ندارد.
 
== معادله ==
 
== ۱٫۱-معادله وابسته به زمان ==
شکل معادله شرودینگر به شرایط فیزیکی بستگی دارد (پایین را برای موارد خاص مشاهده کنید). عمومی‌ترین شکل آن معادله شرودینگری است که تحول زمانی سیستم را نشان می‌دهد:
|indent=:
|title='''معادله وابسته به زمان شرودینگر (عمومی)''' ''(برای تک ذره؛ [[مکانیک کوانتومی نسبیتی|غیرنسبیتی]])''
|equation=<math>i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \Psi(\mathbf{r},t) = \left [ \frac{-\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\mathbf{r},t)\right ] \Psi(\mathbf{r},t)</math>
|cellpadding
|border
لفظ «معادله شرودینگر» به هر دو، معادله عمومی (اولین جعبه بالا) یا نوع خاص غیر نسبیتی آن (دومین جعبه بالا) اشاره می‌کند. معادله عمومی به‌طور واقعی کاملاً عمومی است، که به وسیله مکانیک کوانتومی و برای همه چیز از معادله دیراک گرفته تا برای نظریه کوانتومی به وسیله تبدیل شدن به عبارات پیچیده مختلف برای هامیلتونی، استفاده می‌شود.
نوع خاص غیر نسبیتی شکل ساده شده نزدیک به واقعیت است که در شرایط بسیاری دقیق است و در موارد اندکی دقیق نیست. (مکانیک کوانتومی را ببینید)
برای به دست آوردن معادله شرودینگر، عملگر هامیلتونی برای سیستم جهت محاسبه انرژی پتانسیل و انرژی جنبشی ذرات تشکیل دهنده سیستم و جایگذاری در معادله شرودینگر تنظیم شده‌است. معادله دیفرانسیل جزئی بدست آمده برای تابع موج حل می‌شود که شامل اطلاعاتی دربارهدربارهٔ سیستم است.
 
== معادله مستقل از زمان ==
معادله مستقل از زمان شرودینگر پیش‌بینی می‌کند که توابع موج می‌توانند امواج ایستاده تشکیل دهند که حالتهای ثابت نامیده می‌شوند. (همچنین به عنوان اربیتال در اربیتالهای اتمی یا مولکولی نامیده می‌شوند) این حالت‌ها به نوبهٔ خود مهم هستند. علاوه بر این اگر این حالت‌های پایا دسته‌بندی و تفهیم شوند، حل معادله مستقل از زمان شرودینگر برای هر حالت آسان ترآسان‌تر می‌شود. معادله مستقل از زمان شرودینگر حالت‌های پایا را توصیف می‌کند. (این معادله فقط زمانی استفاده می‌شود که خود هامیلتونی وابسته به زمان نیست)
 
{{Equation box 1
|indent=:
|title='''معادله مستقل از زمان شرودینگر (یک ذره غیر نسبیتی)
|equation=<math>E \Psi(\mathbf{r}) = \left[ \frac{-\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\mathbf{r}) \right] \Psi(\mathbf{r})</math>
|cellpadding
|border
 
== مفاهیم ==
معادله شرودینگر و روش‌های آن شامل یک موفقیت در تفکر فیزیک شد. این معادله در نوع خود اولین بود و راه حل‌های آن منجر به خاصیت‌های غیرمعمول و غیر منتظره‌ایغیرمنتظره‌ای برای زمان شد.
 
== انرژی کل، جنبشی و پتانسیل ==
== کوانتش ==
معادله شرودینگر پیش‌بینی می‌کند اگر خواص مشخصی از سیستم اندازه‌گیری شوند، نتیجه ممکن است کوانتیده باشد به این معنی که تنها مقادیر گسسته خاصی می‌تواند امکان بیفتد یک مثال از کوانتش انرژی است:
انرژی یک الکترون در یک اتم همواره یکی از ترازهای انرژی کوانتیده است، حقیقتی که توسط طیف اتمی کشف شد. (کوانتش انرژی در زیر بحث شده استشده‌است) مثال دیگری از کوانتش تکانه زاویه‌ای است. این یک فرض در مدل اولیه اتم بور بود ولی در حقیقت پیشگویی معادله شرودینگر است.
همهٔ اندازه‌گیری‌ها نتیجه کوانتیده در مکانیک کوانتومی ندارند. به عنوان مثال مکان، تکانه، زمان و انرژی (گاهی اوقات) می‌توانند هر مقداری در یک بازهٔ پیوسته داشته باشند.
 
== اندازه‌گیری و عدم قطعیت ==
در مکانیک کلاسیک، هر ذره در هر لحظه، یک تکانه و مکان دقیق دارد. این مقادیر به‌طور دقیق هنگامی که ذره با توجه به قوانین نیوتن حرکت می‌کند، تغییر می‌کند. در کوانتوم مکانیک، ذرات ویژگی‌های مشخصی به‌طور دقیق ندارند و زمانی که انداره گیریانداره‌گیری می‌شوند نتیجه از یک توزیع احتمال پیروی می‌کند. معادله شرودینگر توزیع احتمالاتی که هستند را پیشگوئی می‌کند، اما اساساً نمی‌تواند نتایج را به‌طور دقیق، برای هر اندازه‌گیری پیشگوئی کند.
اصل عدم قطعیت هایزنبرگ یک نمونهٔ بارزی از عدم قطعیت در مکانیک کوانتوم است. این اصل بیان می‌کند که هر قدر که مکان ذره با دقت بیشتری مشخص باشد، تکانه را با دقت کمتری خواهیم دانست و بر عکس.
معادله موج شرودینگر تکامل تابع موج یک ذره را توصیف می‌کند. حتی اگر تابع موج دقیقاً شناخته شده باشد، نتیجه یک اندازه‌گیری خاص روی آن نادقیق خواهد بود.
 
این معادله می‌تواند برای هر تعداد ذره ثابت گسترش یابد:
انرژی کل، پس حاصل جمع انرژی‌های جنبشی کل، به علاوه انرژی پتانسیل است؛ که همام هامیلتونی می‌باشد. اگرچه هامیلتونی می‌تواند فعل و انفعالات میان ذرات (یک مسئله چند ذره‌ای) باشد؛ بنابراین انرژی پتانسیل V می‌تواند در پیکر بندی فضایی ذرات و احتمالاً تغییر زمان، تغییر کند انرژی پتانسیل در کل از مجموع انرژی پتانسیل برای هر ذره تشکیل نشده استنشده‌است. این یک تابع برای موقعیت فضایی هر ذره است در واقع:
 
<math>E=\sum_{n=1}^N \frac{\mathbf{p}_n\cdot\mathbf{p}_n}{2m_n} + V(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2\cdots\mathbf{r}_N,t) = H \,\!</math>
 
== روابط دوبروی ==
فرضیه کوانتوم نور انیشتین (۱۹۰۵) بیانگر این است که انرژی ''E'' یک فوتون متناسب است با بسامد ''ν'' (یا بسامد زاویه‌ای ''ω''&nbsp; =&nbsp; ۲π''ν'') که به بسته‌های موج کوانتومی نور، مربوط می‌شود
 
<math>E = h\nu = \hbar \omega \,\!</math>
 
== روشی برای معادله ==
معادله شرودینگر یک معادله موج ریاضی است که بر اساس حرکت‌های موج پاسخ داده شده‌است. در حالت عادی معادله موج در فیزیک می‌تواند از قوانین دیگر فیزیکی، مشتق گیریمشتق‌گیری شود.
معادله موج می‌تواند مشتقی از قوانین دیگر فیزیک باشد و برای ارتعاشات مکانیکی بروی طناب در ماده از قانون نیوتون مشتق شود. تابع موج آنالوگ نشان دهندهٔ جابه جایی ماده است و امواج الکترومغناطیسی از [[معادلات ماکسول]] بدست می‌آید که در آن تابع موج در زمینه‌های الکتریکی و مغناطیسی می‌باشد، در مقابل آن، معادلات شرودینگر بر اساس انرژی مواد و قیاس منطقی جداگانه در مکانیک کوانتومی است.
دوگانگی ذره-موج از معادلات شرودینگر پیروی می‌کند که در زیر بیان شده استشده‌است:
رابطه پلانک – انیشتین و دوبروی: