انتگرال لبگ: تفاوت میان نسخهها
محتوای حذفشده محتوای افزودهشده
بدون خلاصۀ ویرایش |
جز اصلاح ارقام |
||
خط ۱۱:
انتگرال یک تابع مثبت مانند <math>\mathrm{f}</math> بین کران های <math>\mathrm{a}</math> و <math>\mathrm{b}</math> را میتوان به عنوان مساحت زیر نمودار <math>\mathrm{f}</math> تفسیر کرد. فهم این مطلب برای توابع ساده ای چون چند جمله ایها راحت است، اما در مورد توابع نامتعارف تر چطور؟ در کل، برای چه دسته از توابعی «مساحت زیر نمودار» معنا دارد؟ جواب این سؤال اهمیت نظری و عملی بالایی دارد.
ریاضیدانان در قرن نوزدهم میلادی تلاش کردند تا حساب انتگرالی را به عنوان بخشی از حرکت عمومی به سمت دقت و استحکام ریاضیاتی (Rigor) بر روی بنیان های مستحکمی بنا کنند. انتگرال ریمانی که توسط برنهارد ریمان (
با این حال، انتگرال ریمانی به خوبی با دنباله توابع برهمکنش ندارد و تحلیل چنین دنباله هایی را دچار مشکل می کند. این نکته به عنوان مثال در مطالعه سری فوریه، تبدیل فوریه و دیگر موضوعات اهمیت دارد. انتگرال لبگ قادر است تا توصیف کند چه زمان و چگونه امکان حد گیری زیر نماد انتگرال گیری ممکن است (این حد گیری از طریق قضایای قدرتمند همگرایی یکنواخت و همگرایی تسلطی انجام می شود).
در حالی که انتگرال ریمانی مساحت زیر نمودا را از طریق مستطیل های عمودی محاسبه می کند، تعریف لبگ ورقه های افقی را در نظر می گیرد که لزوماً مستطیل نیستند و انعطاف بیشتری دارند. به همین دلیل تعریف لبگ امکان محاسبه انتگرال را برای دسته گسترده تری از توابع فراهم می آورد. به عنوان مثال، تابع دیریکله که برای اعداد گنگ
لبگ رهیافت خود به انتگرال گیری را در نامه ای به پاول مونتل اینگونه بیان می دارد:
|