انتگرال لبگ: تفاوت میان نسخه‌ها
محتوای حذف‌شده محتوای افزوده‌شده
خط ۱:
[[پرونده:
در [[ریاضیات]]، [[انتگرال]] یک تابع نامنفی تک متغیره را می‌توان در ساده‌ترین حالت، [[مساحت]] بین نمودار [[تابع]] و محور ایکس‌ها در نظر گرفت. '''انتگرال لبگ''' مفهوم انتگرال‌گیری را به دسته بزرگتری از توابع گسترش می‌دهد. همچنین این نوع انتگرال‌گیری دامنه ای که این توابع بر روی آن‌ها انتگرال‌گیری می‌شوند را نیز گسترش می‌دهند.
خط ۳۲:
فولند تفاوت بین رهیافت انتگرال گیری ریمانی و لبگ را اینگونه بیان می دارد: "برای محاسبه انتگرال ریمانی <math>f</math>، دامنه <math>[a, b]</math> به زیر بازه هایی افراز می شود"، در حالی که در انتگرال لبگ، "در عمل برد <math>f</math> افراز می شود."<ref name="Folland">{{cite book |first=Gerald B. |last=Folland |title=Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications |location= |publisher=Wiley |year=1984 |page=56 |url=https://books.google.com/books?id=AnIPAQAAMAAJ&pg=PA56 }}</ref>
=== به سوی یک تعریف صوری ===
[[پرونده:https://upload.wikimedia.org/wikipedia/en/8/8c/Horizontal_slice_for_Lebesgue.svg|بندانگشتی|یک تابع اندازه پذیر همراه با مجموعه <math>\{x|f(x)>t\}</math> (روی محور <math>x</math>) نشان داده شده. انتگرال لبگ به وسیله برش در طول محور <math>y</math> با استفاده از اندازه لبگ 1-بعدی برای اندازه گیری "عرض" برش‌ها بدست آمده است.|پیوند=Special:FilePath/Https://upload.wikimedia.org/wikipedia/en/8/8c/Horizontal_slice_for_Lebesgue.svg]]
برای تعریف انتگرال لبگ، نیازمند به مفهوم صوری اندازه هستیم، که می توان گفت به طور کلی و نادقیق به هر مجموعه <math>A</math> از اعداد حقیقی، عدد نامنفی <math>\mu(A)</math> را که نشان دهنده "اندازه" <math>A</math> است را نسبت می دهد. این مفهوم "اندازه" باید با مفهوم رایج طول یک بازه یا اجتماع مجزای بازه ها سازگاری داشته باشد. فرض کنید که <math>f\colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{+}</math> یک تابع حقیقی مقدار نا-منفی باشد. با استفاده از فلسفه‌ی "افراز در برد <math>f</math>"، انتگرال <math>f</math> باید برابر با جمع <math>t</math> روی مساحت مقدماتی مشمول در نوار افقی باریک بین <math>y=t</math> و <math>y=t-dt</math> باشد.
این مساحت مقدماتی همان مقدار زیر است:
:<math>\mu \left (\{x\mid f(x)>t\} \right ) \,dt.</math>
فرض کنید:
:<math>f^*(t)=\mu \left (\{x\mid f(x)>t\} \right ).</math>
آنگاه انتگرال لبگ <math>f</math> به این صورت تعریف خواهد شد:<ref>{{harvnb|Lieb|Loss|2001}}</ref>
:<math>\int f\,d\mu = \int_0^\infty f^*(t)\,dt</math>
که در آن انتگرال سمت راست یک انتگرال ریمانی ناسره معمولیست. توجه کنید که <math>f^*</math> یک تابع نا-منفی نزولیست و لذا یک انتگرال ریمانی ناسره خوش تعریف دارد که مقدار آن در بازه <math>[0, \inf]</math> قرار می گیرد. برای دسته مناسبی از توابع (توابع اندازه پذیر)، این منجر به تعریف انتگرال لبگ می شود.
یک تابع اندازه پذیر <math>f</math> (که لزوماً مثبت نیست) لبگ انتگرال پذیر است اگر مساحت بین نمودار <math>f</math> و محور <math>x</math> متناهی باشد:
:<math>\int |f|\,d\mu < + \infty.</math>
در این حالت، همانند حالت ریمانی، انتگرال برابر تفاضل بین مساحت بالای محور <math>x</math> و مساحت زیر محور <math>x</math> خواهد بود:
:<math>\int f \,d\mu = \int f^+ \,d\mu - \int f^- \,d\mu</math>
که در آن <math>f=f^+-f^-</math> تجزیه <math>f</math> به تفاضل دو تابع نامنفیست که به صورت زیر می باشند:
:<math>\begin{align}
f^+(x)&=\max\{f(x),0\} &=&\begin{cases}
f(x), & \text{if } f(x) > 0, \\
0, & \text{otherwise}
\end{cases}\\
f^-(x)&=\max\{-f(x),0\} &=&\begin{cases}
-f(x), & \text{if } f(x) < 0, \\
0, & \text{otherwise.}
\end{cases}
\end{align}</math>
== یادداشت‌ها ==
| |||