در قرن نوزدهم، چندین خاصیت ریاضیاتی پراکنده و ناهمخوان شناخته شده بودند که بعدها مشخص شد پیامدهای فشردگی اند. از سوی دیگر، برنارد بولزانو (1817۱۸۱۷) می دانست که هر دنباله کراندار از نقاط (به عنوان مثال درون خط یا صفحه) زیر دنباله ای دارد که باید در نهایت به میزان دلخواهی به نقطه ای دیگر که به آن نقطه حدی می گویند میل کند. اثبات بولزانو وابسته به روش دو نیم کردن بود: دنباله مورد نظر درون بازه ای قرار می گرفت که آن بازه به دو بخش مساوی تقسیم می شد، سپس بخشی که شامل بی نهایت عضو از دنبال بود انتخاب می گشت. آنگاه فرایند مذکور دوباره با تقسیم کردن بازه کوچکتر حاصل که از مرحله قبل انتخاب شده بود تکرار می گشت. اهمیت واقعی قضیه بولزانو و روش اثبات آن تا حدود 50۵۰ سال بعد، زمانی که مجدداً توسط کارل وایرشتراس کشف شد مشخص نگشت.<ref>{{harvnb|Kline|1972|pp=952–953}}; {{harvnb|Boyer|Merzbach|1991|p=561}}</ref>
