خوش‌ترتیب: تفاوت میان نسخه‌ها

در [[ریاضیات]]، یک رابطه خوش ترتیب (یا خوش ترتیبی) روی [[مجموعه (ریاضی)|مجموعه]] S کاملاً مرتب ، دارای این ویژگی است که هر زیر مجموعه ناتهی از آن داری کوچکترین عضو باشد. مجموعه داری ویژگی خوش ترتیبی، مجموعه خوش ترتیب نامیده می‌شود.

هر مجموعه ناتهی خوش ترتیب یک کوچکترین عضو دارد.هر عضو s از یک مجموعه خوش ترتیب، به جز بزرگترین عضو، یک جانشین یکتا دارد، به عبارت دیگر کوچکترین عضو از زیر مجموعه همه عناصر که از s بزرگتر است. در مجموعه خوش ترتیب S، هر زیرمجموعه Tی دارای کران بالا، [[کوچکترین کران بالا]] دارد؛ به عبارت دیگر کوچکترین عنصر از مجموعهٔ زیر مجموعه‌های کران بالای T در مجموعه S. اگر رابطه کوچکتر مساوی (≥) یک رابطه خوش ترتیبِ غیر مؤکد باشد، رابطه کوچکتری (>) یک رابطه خوش ترتیب مؤکد است.تفاوت روابط خوش ترتیب موکد و ناموکد در اغلب موارد نادیده گرفته می‌شود زیرا این دو به راحتی قابل تبدیل به یکدیگر هستند.

موقعیت هر عنصر در مجموعه مرتب به‌طور مشابه به وسیله اعداد ترتیبی (اعداد اردینال) نیز بدست می‌آید.

در مورد یک مجموعه متناهی، عملیات اساسی شمارش برای یافتن اعداد ترتیبی یک عضو خاص یا برای یافتن عضوی با ویژگی خاص اعداد ترتیبی، رابطه یک به یک اعداد طبیعی به اعضا اختصاص داده می‌شود. اندازه (تعداد اعضا، کاردینالیتی) یک مجموعه متناهی هم ارز یا برابر نوع ترتیب است. هربار شمارش نوعانوعاً از یک شروع می‌شود، پس به هر عضو از بخش اولیه به همراه آخرین عنصر اختصاص می یابد.توجه داشته باشید که این اعداد با توجه به یک‌ریختی یکی بیشتر از اعداد مرتب هستند، چون برابر با اعضای قبل از آن هستند. بنابراین برای عدد معلوم و محدود n، اصطلاح "nاُمین عنصر" از یک مجموعه خوش ترتیب نیازمند دانستن این است که شمارش از یک شروع شده‌است یا صفر. همچنین "mاُمین عنصر" را در یک مجموعه که نامتناهی است میتوان از صفر شمرد. برای یک مجموعه نامتناهی نوع ترتیب، کاردینالیتی را مشخص میکند؛ ولی برعکس این موضوع صادق نیست. مجموعه‌های خوش ترتیب با کاردینالیتی مشخص ممکن است ترتیب مختلفی داشته باشد. برای یک مجموعه نامتناهی، مجموعه‌ای از انواع ترتیب می‌تواند حتی غیرقابل شمارش باشد.

=== اعداد طبیعی ===

مرتب‌سازی استاندارد رابطه کوچکترمساوی (≥) اعداد طبیعی خوش ترتیب است و دارای این خاصیت است که هر عدد طبیعی غیرصفر یک عنصر پیشین یکتا دارد.

رابطه R می‌تواند مانند زیر باشد:

یک رابطه خوش ترتیب دیگر اعداد صحیح به این صورت تعریف می‌شود: x ≤ y اگر و تنها اگر |x| < |y| یا |x| = |y| و x ≤ y. این رابطه می‌تواند به صورت زیر باشد:

مرتب‌سازی استاندارد رابطه کوچکترمساوی ≥ [[اعداد حقیقی]] مثبت، خوش ترتیب نیست، زیرا برای مثال، بازهٔ باز صفر تا یک شامل کوچکترین عنصر نیست.

o{ − 2^−''n'' | 0 ≤ ''n'' < ω }O

o{ − 2^−''n'' − 2^{−''m''−''n''} | 0 ≤ ''m'',''n'' < ω }o

o{ − 2^−''n'' | 0 ≤ ''n'' < ω } ∪ { 1 }o