تفاوت میان نسخه‌های «انتگرال»

۴۸۷ بایت اضافه‌شده ،  ۸ ماه پیش
بدون خلاصه ویرایش
جز
 
اصول انتگرال گیری به طور مستقل توسط [[آیزاک نیوتن|اسحاق نیوتون]] و [[گوتفرید لایبنیتس|گوتفرید ویلهلم لایبنیز]] در اواخر قرن هفدهم میلادی فرموله شد، آن ها انتگرال را به صورت جمع مستطیل هایی با عرض های بی نهایت کوچک می دیدند. [[برنهارت ریمان|برنارد ریمان]] تعریف استواری از انتگرال ارائه نمود. این تعریف بر اساس فرآیند [[حد (ریاضی)|حد]] گیری است که مساحت زیر نمودار یک خم را با شکستن آن ناحیه به قطعات نازک عمودی تخمین می زند. با شروع قرن نوزدهم میلادی، مفاهیم پیچیده تری از انتگرال ظهور پیدا کرد که در آن نوع تابع به علاوه دامنه انتگرال گیری تعمیم یافت. انتگرال خطی برای توابع دو یا چند متغیره تعریف شده است و بازه انتگرال گیری <math>[a, b]</math> در آن با خمی که دو نقطه ابتدا و انتهای انتگرال گیری را به هم متصل می کند جایگزین شده است. در انتگرال سطح (یا انتگرال رویه ای)، خم با یک رویه در فضای سه بعدی جایگزین می شود.
== انتگرال نامعین ==
هرگاه [[مشتق]] تابعی معلوم باشد و بخواهیم تابع را مشخص کنیم، این عمل را انتگرال‌ نامعین نامیده و آن را با نماد <math>\int</math> نمایش می‌دهیم. به انتگرال نامعین، '''پادمشتق''' نیز گفته‌می‌شود، زیرا انتگرال نامعین، عکس [[مشتق|مشتق‌]] است.
 
== تاریخچه ==
بنا به تعریف، نماد <math>\int{f(x)}.dx</math> را انتگرال نامعین نامیده و حاصل آن را تابعی مانند <math>F(x)+c</math> در نظر می‌گیریم هرگاه:
=== قبل از حسابان ===
{{وسط|<math>\int{f(x)}.dx=F(x)+c</math>}}
اولین تکنیک نظام مندی که قادر به تعیین انتگرال، روش افنا بود که توسط ستاره شناس یونان باستان، اودوکسوس (حدود 370 قبل از میلاد) معرفی شد. در این روش مساحت ها و احجام به تعداد نامتناهی تکه که مساحت یا حجم هر کدام از آن تکه ها معلوم بود تقسیم بندی می شدند. ارشمیدس این روش را ارتقاء داده و از آن در قرن سوم قبل از میلاد استفاده کرد تا مساحت های سهمی و دایره را به کمک آن بدست آورد.
که <math>c</math> مقداری ثابت است. در واقع می‌توان چنین بیان کرد:
{{وسط|<math>F'(x)=f(x)\Leftrightarrow\int{f(x)}.dx=F(x)+c </math>}}
<div style="background-color:#fafafa; border:1px solid #a2a9b1; padding:1em;">
<span style="font-size: large;">'''مثال:'''</span>
مقدار انتگرال تابع <math>f(x)=\sqrt{x} + 2x^2 - 8</math> را حساب کنید:
{{چپ‌چین}}
<math>\int{f(x)}.dx=\int{(x^{ \frac{1}{2}}+2x^2-8)}.dx = \int{ x^{\frac{1}{2}}}.dx + 2 \int{x^2}.dx - 8 \int{dx} = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}+ \frac{2}{3}x^3-8x+C</math>
 
روش مشابهی به طور مستقل در حدود قرن سوم بعد از میلاد توسط میو هوی در چین بدست آمد، او از این روش برای بدست آوردن مساحت دایره استفاده کرد. این روش بعدها در قرن پنجم میلادی توسط ریاضیدانان پدر و پسر چینی یعنی زو چونگژی و زو گنگ برای بدست آوردن حجم یک کره ({{harvnb|Shea | 2007}}; {{harvnb|Katz|2004|pp=125–126}}) مورد استفاده قرار گرفت.
:::<math>\Rightarrow \int{f(x)}.dx=\frac{2}{3}x\sqrt{x}+ \frac{2}{3}x^3-8x+C</math>
{{پایان چپ‌چین}}
</div>
 
در خاورمیانه، حسن ابن الحیثم (نام لاتین شده او Alhazen است) (965 - 1040 میلادی) فرمولی برای جمع توان های چهارم بدست آورد. او از این فرمول برای بدست آوردن چیزی استفاده کرد که اکنون میدانیم انتگرال آن تابع است، او از آن برای محاسبه حجم یک سهمی گون استفاده کرد.<ref name=katz>Katz, V.J. 1995. "Ideas of Calculus in Islam and India." ''Mathematics Magazine'' (Mathematical Association of America), 68(3):163–174.</ref>
== انتگرال معین ==
{{اصلی|پاد مشتق}}
بنا به تعریف، نماد <math>\int_a^b f(x).dx</math> را انتگرال معین نامیده
و حاصل آن را به ازای <math>a<x<b</math> عددی به صورت زیر تعریف می‌کنیم:
 
تا قرن هفدهم میلادی پیشرفت مهمی در حساب انتگرال صورت نگرفت. در این زمان بود که روش کاوالیری یعنی روش تقسیم ناپذیرها، و همچنین کارهای فرما، بنیانگذاری حساب مدرن را کلید زدند. کاوالیری در فرمول‌های مربع کاوالیری خود، انتگرالهای <math>x^n</math> را تا درجه n=9 محاسبه کرد. قدم های بعدی در اوایل قرن هفدهم میلادی توسط بارو و توریسلی برداشته شد، آن ها اولین نشانه های ارتباط انتگرال و دیفرانسیل را ارائه نمودند. بارو اولین اثبات قضیه اساسی حساب را ارائه داد. والیس روش کاوالیری را برای محاسبه انتگرال های توان های عمومی x تعمیم داد، به گونه ای که شامل توان های منفی و حتی توان های کسری نیز می شد.
<math>\int_a^b f(x).dx=F(x)|_a^b=F(b)-F(a)</math>
 
<math>a</math> و <math>b</math> به ترتیب، کران‌های بالا و پایین انتگرال نامیده می‌شوند.
 
== تابع انتگرال‌پذیر ==
اگر تابعی دارای انتگرال باشد به آن انتگرال‌پذیر گویند.
 
== تعبیر هندسی انتگرال ==
از نظر هندسی انتگرال برابر است با مساحت سطح محصور زیر نمودار.
 
'''نکته'''
انتگرال نمودار سه بعدی(انتگرال دوگانه) معرف '''حجم''' محصور زیر نمودار است و انتگرال سه‌گانه معرف پارالل زیر نمودار است (غیرقابل تصور).
 
=== مثال ===