تفاوت میان نسخه‌های «تابع توزیع تجمعی»

بدون خلاصه ویرایش
جز (ویرایش 188.118.105.39 (بحث) به آخرین تغییری که InternetArchiveBot انجام داده بود واگردانده شد)
برچسب: واگردانی
<math>x \to F_X(x) = \operatorname{P}(X\leq x)</math><ref>Probability and Statistics in Engineering And Management Science, William W. Hines, Douglas C. Montgomery, Third Edition, John Wiley and Sons, 1990, {{ISBN|0-471-60090-3|en}}.</ref>
 
از این تعریف می‌توان نتیجه گرفت که:
{{وسط‌چین}}
<math> P(a< X \le b)=F_X(b)-F_X(a)</math>
{{پایان وسط‌چین}}
تابع توزیع تجمعی را می‌توان به صورت زیر بر اساس [[تابع چگالی احتمال]] نیز تعریف کرد
{{وسط‌چین}}
 
<math>F(x) = \int_{-\infty}^x f(t)\,dt.</math><ref>Introduction to Probability
Models, Sheldon M. Ross, Tenth Edition</ref>
{{پایان وسط‌چین}}
 
در مورد متغیرهای تصادفی با مقادیر گسسته این تعریف به صورت زیر است:
{{وسط‌چین}}
 
<math> \Pr(X=x) =F(x_0)-F(x_0-) ,</math>
{{پایان وسط‌چین}}
که در اینجا <math> F(x_0-) </math> به معنی حد چپ تابع <math> F_X(x) </math> است وقتی که <math> x </math> به <math> x_0 </math> میل می‌کند<ref name="en.wikipedia.org" />
 
== خواص تابع توزیع تجمعی ==
* تابع توزیع تجمعی برای متغیر تصادفی گسسته به این شکل تعریف می‌شود:
{{وسط‌چین}}
 
<math display = "block">
F_X(x) =
f(t)
</math>
{{پایان وسط‌چین}}
 
<gallery heights="350" widths="350" style="text-align:center">
Discrete CDF.jpg|نمودار تابع توزیع تجمعی برای متغیر تصادفی گسسته
</gallery>
* تعریف تابع توزیع تجمعی برای متغیر تصادفی پیوسته به این شکل می‌شود :
{{وسط‌چین}}
<math display="block">
F_X(x) =
dt
</math>
{{پایان وسط‌چین}}
* تمام توابع توزیع تجمعی صعودی (ولی نه لزوماً صعودی اکید) و از راست پیوسته هستند.
*<math>0 \le F_X(x) \le 1</math>
</math>
* اگر M میانه داده‌ها باشد داریم :
{{وسط‌چین}}
<math display="block">
F_X(M) =
{2}
</math>
{{پایان وسط‌چین}}
 
و این همان تعریف میانه است که نیمی از داده‌ها مقداری کمتر از M دارند.<ref>{{یادکرد وب |url=https://www.math.vt.edu/people/qlfang/class_home/Lesson2021.pdf |title=نسخه آرشیو شده |accessdate=۲۸ دسامبر ۲۰۱۸ |archiveurl=https://web.archive.org/web/20171031090045/http://www.math.vt.edu/people/qlfang/class_home/Lesson2021.pdf |archivedate=۳۱ اکتبر ۲۰۱۷ |dead-url=yes }}</ref>
 
== مثال ==
فرض کنید X یک متغیر تصادفی پیوسته‌است که تابع چگالی احتمال آن به این شکل تعریف شده باشد:<ref>https://newonlinecourses.science.psu.edu/stat414/node/98/</ref>
{{وسط‌چین}}
 
<math display="block">
f(x) =
\end{cases}
</math>
{{پایان وسط‌چین}}
 
نمودار چگالی احتمال این متغیر تصادفی به شکل زیر خواهد بود:
 
</gallery>
با انتگرال‌گیری از تابع چگالی احتمال در هر بازه تابع توزیع تجمعی آن را به دست می‌آوریم و خواهیم داشت:
{{وسط‌چین}}
 
<math display="block">
F(x) =
\end{cases}
</math>
{{پایان وسط‌چین}}
 
<gallery heights="300" widths="300" style="text-align:center">
example.cdf.jpg|نمودار تابع توزیع تجمعی این مثال
=== توزیع طبیعی استاندارد ===
تابع چگالی احتمال [[توزیع طبیعی|توزیع طبیعی استاندارد]] برای {{math|ℝ}} <math>x \in </math> به شکل زیر تعریف می‌شود :
{{وسط‌چین}}
<math display="block">
f(x) =
{2}}
</math>
{{پایان وسط‌چین}}
و تابع توزیع تجمعی آن برابر است با:
{{وسط‌چین}}
 
<math display = "block">
F(x) =
{\frac 12}\left(1+{\mathrm {erf}}\,{\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt 2}}}\right)\!
</math>
{{پایان وسط‌چین}}
 
==== نمودار ====
<gallery heights="400" widths="400" style="text-align:center">
=== توزیع پواسون ===
تابع چگالی احتمال [[توزیع پواسون]] برای {1,2,3,...} <math> k \in </math> و <math>\lambda \in (0,\infty)</math> به شکل زیر تعریف می‌شود:
{{وسط‌چین}}
 
<math display="block">
f(x) =
{\displaystyle {\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k}}{k!}}\!}
</math>
{{وسط‌چین}}
و تابع توزیع تجمعی آن برابر است با:
{{پایان وسط‌چین}}
 
<math display = "block">
F(x) =
 
</math>
{{پایان وسط‌چین}}
 
==== نمودار ====
<gallery heights="400" widths="400" style="text-align:center">
=== توزیع نمایی ===
تابع چگالی احتمال [[توزیع نمایی]] برای <math>x \ge 0</math> به شکل زیر تعریف می‌شود :
{{وسط‌چین}}
<math display ="block">
f(x) =
\lambda e^{- \lambda x}
</math>
{{پایان وسط‌چین}}
 
و تابع توزیع تجمعی آن برابر است با:
{{وسط‌چین}}
 
<math display = "block">
F(x) =
1 - e^{- \lambda x}
</math>
{{پایان وسط‌چین}}
 
==== نمودار ====
<gallery heights="390" widths="390" style="text-align:center">
== تابع توزیع تجمعی برای توابع توام ==
تابع توزیع تجمعی برای[[توزیع احتمال توأم]] به این صورت تعریف می‌شود:
{{وسط‌چین}}
 
<math display="block">
F_{X_1,X_2,...,X_n}
P(X_1 \le x_1 , X_2 \le x_2 ,...,X_n \le x_n )
</math>
{{پایان وسط‌چین}}
 
با این تعریف تابع توزیع تجمعی برای تابع دو متغیره <math>f_{XY}(x,y) </math> به این شکل خواهد بود:
{{وسط‌چین}}
 
<math display="block">
F_{XY}
P(X \le x , Y \le y )
</math>
{{پایان وسط‌چین}}
 
ویژگی‌های این تابع همانند حالت یک متغیره خواهد بود. برخی از این ویژگی‌ها عبارتند از:
*<math>0 \le F_{X_1,X_2,...,X_n}