توزیع نرمال: تفاوت میان نسخه‌ها
محتوای حذف‌شده محتوای افزوده‌شده
بدون خلاصۀ ویرایش |
بدون خلاصۀ ویرایش |
||
خط ۱۳:
mode =<math>\mu</math>|
variance =<math>\sigma^2</math>|
skewness =
kurtosis =
entropy=<math>\ln\left(\sigma\sqrt{2\,\pi\,e}\right)\!</math>|
mgf =<math>M_X(t)= \exp\left(\mu\,t+\frac{\sigma^2 t^2}{2}\right)</math>|
خط ۲۰:
}}
'''توزیع نُرمال یا [[تابع گاوسی|توزیع گاوسی]] '''(که به ندرت، '''توزیع طبیعی''' نیز گفته می‌شود)، یکی از مهم‌ترین [[توزیع احتمال|توزیع‌های احتمال]] [[پیوسته]] در [[نظریه احتمالات]] است.<ref>{{harvtxt|Casella|Berger|2001|p=102}}</ref><ref>[http://www.encyclopedia.com/topic/Normal_Distribution.aspx#3 ''Normal Distribution''], Gale Encyclopedia of Psychology</ref> علت نام‌گذاری و نیز اهمیت این توزیع این است که اُفت‌وخیز بسیاری از کمیّت‌های طبیعی (فیزیکی) حول یک مقدار ثابت، از این توزیع پیروی می‌کند. دلیل اصلی این موضوع، [[قضیه حد مرکزی|قضیهٔ حد مرکزی]] است.
به زبان ساده، در [[قضیهٔ حد مرکزی]] نشان داده می‌شود که مجموع متغیرهای تصادفی مستقل (independent)، که هرکدام میانگین و واریانس متناهی دارند، با افزایش تعداد متغیرها، دارای توزیعی بسیار نزدیک به توزیع نرمال است. برای مثال، با اینکه عوامل زیادی بر خطای اندازه‌گیریِ یک کمیت اثر
این توزیع گاهی به دلیل استفادهٔ [[کارل فردریک گاوس|کارل فردریش گاوس]] از آن در کارهای خود با نام توزیع گاوسی نامیده می‌شود؛ همچنین به دلیل شکل [[تابع توزیع احتمال|تابع چگالی احتمال]] این توزیع، با نام توزیع زنگوله‌ای (زنگ‌دیس) نیز معروف است.
خط ۲۹:
== مشخصات ==
خصوصیاتی که معمولاً برای توصیف یک توزیع احتمال به کار می‌روند، عبارتند از تابع توزیع (یا چگالی) احتمال، [[تابع توزیع تجمعی]]، گشتاورها، تابع مشخصه و [[تابع مولد]] گشتاور. در جدول سمت چپ، این مشخصات برای توزیع نرمال آورده شده‌اند.
=== تابع چگالی احتمال ===
تابع چگالی احتمال توزیع نرمال با پارامترهای ''<math>\mu</math>'' و ''<math>\sigma^2</math>'' به صورت زیر است
{{وسط‌چین}}
: <math>
خط ۴۴:
=== گشتاورها ===
گشتاورهای توزیع نرمال از هر مرتبه‌ای تعریف شده‌اند. یعنی ''<math>E[|X|^p]</math>''برای هر ''<math>p</math>'' که {{nowrap|Re[''p'']>
▲گشتاورهای توزیع نرمال از هر مرتبه‌ای تعریف شده‌اند. یعنی ''<math>E[|X|^p]</math>''برای هر ''<math>p</math>'' که {{nowrap|Re[''p'']> −1}} وجود دارد.
{{وسط‌چین}}
* <math>
سطر ۶۷ ⟵ ۶۶:
</math>
{{پایان وسط‌چین}}
=== ترکیبات خطی ===▼
▲=== ترکیبات خطی ===
اگر <math>X \sim N(\mu, \sigma^2)\,\!</math> و a,b هر دو از [[اعداد حقیقی]] باشند، آنگاه <math>a X + b \sim N(a \mu + b, (a \sigma)^2)\,\!</math>{{سخ}}
اگر <math>X \sim N(\mu_X, \sigma^2_X)</math> و <math>Y \sim N(\mu_Y, \sigma^2_Y)</math> [[متغیرهای تصادفی]] نرمال مستقل باشند آنگاه:
سطر ۷۶ ⟵ ۷۵:
== خصوصیات ==
[[پرونده:Standard deviation diagram.svg|انگشتی|300پیکسل|قسمت آبی تیره در فاصلهٔ یک برابر انحراف معیار از میانگین توزیع قرار دارد و قسمت آبی روشن و آبی تیره
تقریباً ۶۸٪ از کل اعدادی که از یک توزیع نرمال گرفته شوند، فاصله‌ای برابر یا کمتر از یک برابر [[انحراف معیار]] توزیع نسبت به میانگین توزیع دارند. تقریباً ۹۵٪ از کل اعدادی که از یک توزیع نرمال گرفته شوند، فاصله‌ای برابر یا کمتر از دو برابر انحراف معیار توزیع نسبت به میانگین توزیع دارند.
== محاسبهٔ احتمال متغیرهای نرمال غیر استاندارد ==
اگر X یک توزیع نرمال نااستاندارد با انحراف معیار σ و امید ریاضی μ باشد، می‌توان ثابت کرد تبدیل زیر از X یک توزیع نرمال استاندارد می‌سازد:<ref>{{یادکرد کتاب | عنوان=آمار و احتمال مقدماتی | ناشر=دانشگاه امام رضا (ع)-مشهد | تاریخ بازبینی = ۹ ژانویه ۲۰۱۲
{{وسط‌چین}}
<math>Z=\frac{X-\mu}{\sigma}
</math>
{{پایان وسط‌چین}}
=== مثال ===
{{وسط‌چین}}
| |||