ضرب ماتریسی: تفاوت میان نسخه‌ها
محتوای حذف‌شده محتوای افزوده‌شده
جزبدون خلاصۀ ویرایش |
|||
خط ۲:
== ضرب معمولی ماتریس‌ها ==
ضرب معمولی ماتریس‌ها رایج‌ترین نوع ضرب در ماتریس‌هاست. این نوع ضرب تنها زمانی تعریف می‌شود که تعداد ستون‌های ماتریس اول با تعداد سطرهای ماتریس دوم برابر باشد. حاصلضرب یک ماتریس ''m''در''n''
ضرب معمولی به این صورت تعریف می‌شود
خط ۲۷:
</math>
{{پایان وسط‌چین}}
که در آن درایه <math>x_{3,4}</math> برابر است با
{{وسط‌چین}}
<math>x_{3,4}
({\color{Blue}1}, {\color{Blue}2}, {\color{Blue}3}, {\color{Blue}4})\cdot
({\color{Red}a}, {\color{Red}b}, {\color{Red}c}, {\color{Red}d})
خط ۳۸:
{{پایان وسط‌چین}}
برای به یادسپاری این موضوع می‌توان ضرب معمولی را به این صورت القا کرد که '''سطر اول در ستون اول درایه اول''' یا به صورت کلی‌تر '''سطر mم در ستون nم درایه mnم'''.
[[پرونده:ضرب ماتریسی.gif|جایگزین=matrix multiplication|بندانگشتی|نحوه انجام ضرب
=== نمایش فرمولی ===
فرض کنید برای
<math>A \in F^{m \times n}</math> و <math>B \in F^{n \times p}</math>
در میدان <math>F</math> که
<math> (AB) \in F^{m \times p} </math>، درایه‌های '''AB''' به صورت زیر بدست می‌آیند
[[پرونده:ضرب ماتریسی 2.gif|جایگزین=matrix multiplication|بندانگشتی|چکونگی انجام ضرب
{{وسط‌چین}}
<math> (AB)_{i,j} = \sum_{r=1}^n A_{i,r}B_{r,j}</math>
خط ۵۲:
=== رابطه ضرب معمولی با ضرب داخلی و ضرب خارجی ===
[[ضرب داخلی]] و [[ضرب خارجی]] در حقیقت صورت‌های خاص و ساده‌شده‌ای از ضرب معمولی ماتریس‌ها هستند. ضرب دو [[بردار ستونی]] <math>A</math> و <math>B</math> به صورت <math>A\cdot B = A^TB</math> می‌باشد، دراینجا T نشانگر [[ترانهاده]] ماتریس است. به صورت صریح‌تر
{{وسط‌چین}}
:<math>A\cdot B = A^TB =
خط ۷۳:
</math>
{{پایان وسط‌چین}}
ضرب ماتریس‌ها در پناه این دو عمل می‌تواند به صورت [[ماتریس قطعه‌ای|قطعه‌ای]] مورد بحث قرار گیرد. برای شروع تجزیهٔ ماتریس به [[بردار سطری|بردارهای سطری]] و [[بردار ستونی|بردارهای ستونی]] را بررسی می‌کنیم، در شکل زیر ماتریس '''A''' را به وسیله ماتریسی با بردارهای سطری و ماتریس '''B''' را به وسیله ماتریسی با بردارهای ستونی نمایش می‌دهیم
{{وسط‌چین}}
:<math>\mathbf{A} =
خط ۸۴:
{\color{Blue} a_{m, n}}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
{\color{Red} A_1} \\ {\color{ForestGreen} A_2} \\ \vdots \\ {\color{Blue} A_m}
خط ۹۰:
</math>
:<math>\mathbf{B}
\begin{bmatrix}
{\color{Red}b_{1,1}} & {\color{ForestGreen}b_{1, 2}} & \cdots & {\color{Blue}b_{1, p}} \\
خط ۹۷:
{\color{Red}b_{n, 1}} & {\color{ForestGreen}b_{n, 2}} & \cdots & {\color{Blue}b_{n, p}}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
{\color{Red} B_1} & {\color{ForestGreen} B_2} & \cdots & {\color{Blue} B_p}
خط ۱۰۶:
</math> می‌باشند.
ضرب ماتریسی با این شیوه با توجه به تعاریف بالا به این صورت خواهد بود
{{وسط‌چین}}
:<math>
\mathbf{AB} =
\begin{bmatrix}
A_1 \\
خط ۱۲۶:
.</math>
{{پایان وسط‌چین}}
=== ویژگی‌ها ===
* ضرب ماتریسی خاصیت [[خاصیت جابجایی|جابجایی]] ندارد.
سطر ۱۵۴ ⟵ ۱۵۵:
== ضرب اسکالر در ماتریس ==
ضرب اسکالر r در یک ماتریس '''A''' به این صورت تعریف می‌شود:
{{وسط‌چین}}
: <math> (r\mathbf{A})_{ij} = r \cdot a_{ij}. \, </math>
{{پایان وسط‌چین}}
برای مثال اگر
{{وسط‌چین}}
:<math>\mathbf{A}=\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}</math>
{{پایان وسط‌چین}}
در نتیجه
{{وسط‌چین}}
:<math> r \cdot \mathbf{A}=\begin{bmatrix} r \cdot a & r \cdot b \\ r \cdot c & r \cdot d \end{bmatrix}</math>
| |||