فضای برداری: تفاوت میان نسخه‌ها
محتوای حذف‌شده محتوای افزوده‌شده
بدون خلاصۀ ویرایش |
بدون خلاصۀ ویرایش |
||
خط ۱:
[[پرونده:Vector addition ans scaling.png|200px|بندانگشتی|چپ|[[بردار اقلیدسی|جمع برداری]] و [[ضرب داخلی|ضرب نرده‌ای]]: بردار '''v''' (آبی) با بردار '''w''' (قرمز) جمع شده‌است (تصویر بالایی). در تصویر پایین، '''w''' در اسکالر ۲ ضرب شده و مجموع آنها عبارتست از: {{nowrap|'''v''' + 2·'''w'''}}.]]
[[پرونده:Vector space illust.svg|بندانگشتی|فضای برداری مجموعه‌ای از [[بردار|بردارهاست]] که مقیاس‌پذیرند و قابلیت جمع شدن را دارند.]]▼
در [[ریاضیات]]، '''فضای برداری''' یا '''فضای خطی''' به دسته ای از اشیاء ریاضی (به نام [[بردار]]ها) گفته می‌شود که در مورد آنها دو عمل [[بردار اقلیدسی|جمع برداری]] و [[ضرب داخلی|ضرب نرده‌ای]] به نحوی تعریف شده باشد که [[اصل موضوع|اصول موضوع]] چندی اجرا شود.
از معمول‌ترین فضاهای برداری در ریاضیات، و کاربردهای آن، فضاهای برداری حقیقی و فضاهای برداری مختلط هستند، که به ترتیب بر روی میدان‌های [[اعداد حقیقی]] و [[اعداد مختلط]] تعریف می‌شوند.
عملگر های جمع برداری و ضرب اسکالر باید در ده [[اصل موضوع (منطق)|اصل موضوعه]] ای که در قسمت {{Slink|تعریف|}}آورده شده است صدق کنند.برای مشخص کردن این که اسکالر های فضای برداری حقیقی هستند یا مختلط ، از عبارت‌های '''فضای برداری حقیقی''' یا '''فضای برداری مختلط''' استفاده می‌کنند.
[[بردار اقلیدسی|بردار های اقلیدسی]] نمونه ای از فضای خطی هستند.
== تعریف ==
▲[[پرونده:Vector space illust.svg|بندانگشتی|فضای برداری مجموعه‌ای از [[بردار|بردارهاست]] که مقیاس‌پذیرند و قابلیت جمع شدن را دارند.]]
یک فضای برداری یا فضای خطی از موارد زیر تشکیل شده‌است:<ref>هافمن، صفحهٔ ۲۸</ref>
{| border="0" style="width:100%;" class="wikitable"
|+
اصول موضوعه فضای برداری
* عمل جمع با این تعریف که برای هر <math>\alpha</math> و <math>\beta</math> در <math>V</math>، <math>\alpha + \beta</math> در <math>V</math> با این شرایط:▼
|-
** <math>\alpha + \beta = \beta + \alpha \,</math>▼
! اصول موضوع بسته بودن ||
** <math>\alpha + (\beta + \gamma) = (\alpha + \beta) + \gamma</math>▼
|-
** بردار یکتای <math>0</math> وجود دارد به طوریکه به ازای هر <math>\alpha</math> عضو <math>V</math>، <math>\alpha + 0 = \alpha</math>▼
|بسته بودن نسبت به جمع برداری
** به ازای هر بردار <math>\alpha</math> عضو <math>V</math>، بردار یکتای <math>-\alpha</math> وجود دارد به طوریکه <math>\alpha + (-\alpha) = 0</math>▼
|-
** به ازای هر <math>\alpha</math> در <math>V</math>، <math>1\alpha = \alpha</math>▼
|بسته بودن نسبت به ضرب در اعداد حقیقی
|به هر <math>\alpha</math> در <math>V</math> و هر عدد حقیقی <math>c</math> عنصری در <math>V</math> مربوط است به نام حاصلضرب <math>c</math> و <math>\alpha</math> که با <math>c\alpha</math> نشان داده می شود.
|-
!اصول موضوع جمع
▲
|-
|- style="background:#F8F4FF;"
|[[خاصیت جابه‌جایی]] در جمع برداری
|-
▲
|- style="background:#F8F4FF;"
▲
|-
!اصول موضوع ضرب
|عمل ضرب با این تعریف برای هر بردار <math>\alpha</math> در <math>V</math> و اسکالر <math>c</math> در میدان <math>F</math>، با این شرایط:
|-
|[[شرکت‌پذیری]] در ضرب ||<math>(c_1 c_2)\alpha = c_1(c_2\alpha)</math> <ref group="nb">This axiom and the next refer to two different operations: scalar multiplication: {{math|''b'''''v'''}}; and field multiplication: {{math|''ab''}}. They do not assert the associativity of either operation. More formally, scalar multiplication is a [[monoid action]] of the multiplicative monoid of the field {{mvar|F}} on the vector space {{mvar|V}}.</ref>
|- style="background:#F8F4FF;"
▲
|-
|[[پخشپذيري|پخش‌پذيری]] ضرب اسکالر برای جمع در <math>V</math>||<math>c(\alpha + \beta) = c\alpha + c\beta</math>
|- style="background:#F8F4FF;"
|[[پخشپذيري|پخش‌پذيری]] ضرب اسکالر برای جمع اعداد ||<math>(c_1 + c_2)\alpha = c_1\alpha + c_2\alpha
</math>
|}
== پوچساز ==
| |||