بستار (ریاضی): تفاوت میان نسخه‌ها

فرض کنید R رابطه‌ای روی مجموعهٔ A باشد. R ممکن است بعضی از ویژگی‌ها مثلا ویژگی P (که می‌تواند بازتابی, تقارنی, تعدی و ... باشد) را داشته باشد یا نداشته باشد. اگر رابطه‌ای مانند S وجود داشته باشد که ویژگی P را دارا باشد و رابطهٔ R را شامل شود و زیر مجموعهٔ هر رابطهٔ دیگری که ویژگی P را دارد و رابطهٔ R زیر مجموعهٔ آن است باشد آنگاه S بستار رابطهٔ R نسبت به ویژگی P است.

رابطهٔ {(R={(1,1),(1,2),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2 روی مجموعهٔ {A={1,2,3 را در نظر بگیرید این رابطه تقارنی نیست. برای اینکه R را تقارنی کنیم کافی است دو عضو (1,3) و (2,1) را به R اضافه کنیم زیرا این دو تنها عضو‌هایعضوهای به فرم (a,b) هستند که (b,a) عضو R است ولی خودشان عضو R نیستند. مجموعهٔ حاصل تقارنی است و شامل R نیز می‌باشد و همچنین زیر مجموعهٔ هر مجموعهٔ تقارنی است که R زیر مجموعهٔ آنهاست پس این رابطه بستار تقارنی R است.

این رابطه تعدی نیست زیرا شامل همهٔ عضوهای (a,c) به شرط اینکه (a,b) و (b,c) عضو R باشند نمی‌شود. عضو‌هایعضوهای به این فرم عبارت اند از (1,2) , (2,3) , (2,4) و (3,1) اضافه کردن این عضو‌هاعضوها رابطهٔ R را تعدی نخواهد کرد! چون رابطهٔ حاصل شامل اعضا ی (3,1) و (1,4) است ولی عضو (3,4) را ندارد این مثال نشان می‌دهد که ساختن بستار تعدی رابطهٔ R به سادگی ساختن بستار بازتابی یا تقارنی رابطهٔ R نیست.

:فرض کنید R رابطه‌ای از A به B ,S رابطه‌ای از B به C باشد, رابطهٔ SoR رابطه‌ای از A به C است که شامل همهٔ عضو‌هایعضوهای به صورت (a,c) است به طوریکه (a,b) عضو R و (b,c) عضو S باشد.

گفتیم در مرحلهٔ اول برای اینکه R تعدی کنیم لازم است همهٔ اعضای (a,c) که (a,b) و (b,c) عضو R است ولی خودشان عضو R نیستند را به R اضافه کنیم این مطلب معادل با این است که R² یا RoR را با R اجتماع کنیم به عبارت دیگر R∪R² . حال فرض کنید سه عضو (c,d) , (b,c) و (a,b) عضو R باشند می‌دانیم با این عمل اعضای (a,c) و (b,d) به R اضافه می‌شوند حال چون دو عضو (a,b) و (b,d) عضو مجموعهٔ حاصل هستند باید عضو (a,d) هم عضو آن باشد. اما اگر به تعریف R³ دقت کنیم در این تعریف داریم R³= R²oR .یعنی R³ شامل همهٔ عضو‌هایعضوهای (x,z) است به شرطی که (x,y) عضو R و (y,z) عضو R² باشد پس R³ شامل (a,d) نیز هست چون (a,b) عضو R و (b,d) عضو R² است.